Exercice 1.A.2 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 2 Bis 2024

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme « régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que 60 % de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47 % ont acheté la carte de fidélité.

Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38 % ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants:

$R$: « le client est un client régulier »;

$F$: « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

2. On choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante.

On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 20 clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F) = 0{,}38$.

Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

a)

Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.

b)

Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de 20.