Exercice 1 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2024

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté 1.

Le point $I$ est le milieu du segment $[BD]$. On définit le point $L$ tel que $\vec{IL} = \frac{3}{4}\vec{IG}$.

On se place dans le repère orthonormé $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

1.

a)

Préciser les coordonnées des points $D$, $B$, $I$ et $G$. Aucune justification n'est attendue.

$D$:

$B$:

$I$:

$G$:

b)

Montrer que le point $L$ a pour coordonnées $\left(\frac{7}{8}; \frac{7}{8}; \frac{3}{4}\right)$.

2.

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est $x + y - z - 1 = 0$.

3.

On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par $L$.

a)

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:

$$\begin{cases} x = \frac{7}{8} + t \\ y = \frac{7}{8} + t \\ z = \frac{3}{4} - t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R}.$$

b)

Montrer que les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0; 0; \frac{13}{8}\right)$.

c)

Que représente le point $L$ pour le point $K$ ? Justifier la réponse.

4.

a)

b)

On admet que le triangle $DBG$ est équilatéral. Montrer que son aire est égale à $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c)

Rappel:

le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base;

un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

5.

On désigne par $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]0; +\infty[$ et on note $K_a$ le point de coordonnées $(0; 0; a)$.

a)

b)

On note $\Delta_a$ la droite de représentation paramétrique:

$$\begin{cases} x = t' \\ y = t' \\ z = -t' + a \end{cases} \quad \text{où } t' \in \mathbb{R}.$$

On appelle $L_a$ le point d'intersection de la droite $\Delta_a$ avec le plan $(BDG)$. Montrer que les coordonnées du point $L_a$ sont $\left(\frac{a+1}{3}; \frac{a+1}{3}; \frac{2a-1}{3}\right)$.

c)

Déterminer, s'il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre $GBDK_a$ et la pyramide $ABCDK_a$ soient de même volume.