Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2 Bis 2024

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2$$

On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A: étude de la suite $(u_n)$ dans le cas $1 < a < 2$

1. a.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} - 2 = u_n(u_n - 2)$.

1. b.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} - u_n = (u_n - 1)(u_n - 2)$.

2. Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.

2. a.

En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel $n$: $u_n < 2$.

2. b.

Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Partie B: étude dans le cas particulier $a = 2$

1. On donne ci-contre la fonction u écrite en langage Python:

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit u(2,1) et u(2,2) dans la console Python:

2.

Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $(u_n)$ dans le cas où $a = 2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.

Partie C: étude dans le cas général

1. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln(u_n - 1)$.

a.

Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.

b.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1 + \mathrm{e}^{2^n \times \ln(a-1)}$.

2.

Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $(u_n)$.