Exercices de Suites : récurrence, convergence et limites

29 exercices de Suites : récurrence, convergence et limites tombés au Bac de Mathématiques (2021-2026). Avec corrigé détaillé et correction automatique.

Exercice 3 - Partie B · Métropole 2026 (sujet 1)

Partie B : Phase de refroidissement Modélisation par la suite u_{n+1} = 0,965 u_n + 0,35 + 0,07 e^{-0,1n} avec u_0 = 20. 1. Montrer que u_1 = 19,72. 2. Montrer par récurrence que u_n > 10. 3. En déduire que la suite (u_n) est convergente. 4. Justifier l'équation de limite, déterminer l et interpréter. 5. Compléter…

Exercice 2 · Métropole 1 remplacement 2026

Étude d'une suite récurrente un+1 = f(un), récurrence, convergence, suite auxiliaire géométrique et algorithme de seuil en Python.

Exercice 2 - Partie A · Métropole 2026 (sujet 2)

Partie A : modèle discret sur la contamination d'un bassin. Calcul des premiers termes V_1 et V_2 de la suite arithmético-géométrique V_{n+1} = 0,995*V_n + 6 avec V_0 = 0. Compléter un algorithme Python renvoyant V_n. Montrer par récurrence que V_n <= V_{n+1} <= 1200. Justifier la convergence et déterminer sa limite.

Exercice 3 - Affirmation 4 · Métropole 2 remplacement 2026

Indiquer si l'affirmation 4 est vraie ou fausse et justifier : pour u_{n+1} = 3u_n / (5u_n + 3), la suite v_n = 2 / u_n est arithmétique.

Exercice 4 - Modèle discret et suites · Métropole 2025 (sujet 1)

Partie A : étude d'un modèle discret sur la superficie de posidonie. Calcul de u1, récurrence 1 <= un <= un+1 <= 20, convergence de la suite vers L=15, justification du dépassement de 14 ha et complétion d'un algorithme de seuil en Python.

Exercice 3 · Métropole 1 remplacement 2025

Exercice 3 : Étude des convergences de deux suites (u_n) et (v_n) vers la limite commune 2, étude d'une fonction, récurrence, algorithme seuil Python, suite géométrique auxiliaire et recherche de rangs.

Exercice 3 - Questions 1 et 2 · Métropole 2025 (sujet 2)

Exercice 3 - Questions 1 et 2 : Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier. 1. La suite (u_n) définie par u_n = (1 + 5^n)/(2 + 3^n) converge vers 5/3. 2. La suite (w_n) définie par w_0 = 0 et w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3 vérifie pour tout entier naturel n, w_n >= n.

Exercice 1 - Affirmations 3 et 4 · Métropole 2024 (sujet 1)

On considère un encadrement un <= vn <= wn avec un -> -1 et wn -> 1. Affirmation 3 : La suite (vn) converge vers un nombre réel l dans [-1 ; 1]. On suppose de plus que (un) est croissante et (wn) décroissante. Affirmation 4 : Pour tout n, u0 <= vn <= w0.

Exercice 3 · Métropole 1 remplacement 2024

Pour chacune des 5 affirmations sur les suites numériques, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier : 1) suite arithmético-géométrique et suite géométrique associée w_n = t_n - 10 ; 2) théorème des gendarmes pour u_n = S_n / n ; 3) récurrence pour v_n = (n+1)/n avec v_{n+1} = 2 - 1/v_n ; 4) convergence de u_n…

Exercice 2 - Partie A : Modèle discret · Métropole 2024 (sujet 2)

Partie A : étude d'un modèle discret pour l'évolution du taux de chlore dans une piscine avec récurrence, convergence, limite et algorithme Python.

Exercice 3 · Métropole 2 Bis 2024

Étude d'une suite récurrente u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 2 avec u_0 = a > 1. Partie A : cas 1 < a < 2 (relations algébriques, récurrence u_n < 2, convergence et limite). Partie B : cas a = 2 (programme Python, conjecture suite constante). Partie C : cas général (suite géométrique v_n = ln(u_n - 1), terme général et…

Exercice 2 - Partie B · Métropole 2 remplacement 2024

Partie B : étude d'une suite arithmético-géométrique liée au déplacement d'un robot (relation de récurrence, démonstration par récurrence, convergence, suite géométrique auxiliaire, calcul de la limite et interprétation).

Exercice 4 - Question 1 · Métropole 2 remplacement 2024

On considère le script Python de la fonction seuil(S) qui calcule les termes de la suite définie par u_0 = 7 et u_{n+1} = 1.05*u_n + 3. Indiquer si l'affirmation 1 (« l'instruction seuil(100) renvoie la valeur 18 ») est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Exercice 4 - Question 2 · Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 4, Question 2 : Soit $(S_n)$ la suite définie par $S_n = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n}$. Indiquer si l'affirmation « la suite $(S_n)$ converge vers $\frac{5}{4}$ » est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Exercice 3 · Métropole 2023 (sujet 1)

Exercice 3 : Étude et comparaison de deux modélisations pour le nombre de questions sur une FAQ. Partie A : suite arithmético-géométrique (calcul des premiers termes, récurrence, sens de variation, algorithme Python de seuil). Partie B : suite explicite avec exponentielle (valeurs approchées, inéquation avec…

Exercice 1 - Questions 2 à 4 · Métropole 1 remplacement 2023

2. Déterminer la nature de la suite u_n = e^(2n+1). Pour les questions 3 et 4, suite définie par u_0 = 15 et u_{n+1} = 1,2 u_n + 12. 3. Compléter la condition de la boucle while en Python pour chercher le premier seuil où u_n > 10000. 4. Déterminer la nature de la suite v_n = u_n + 60.

Exercice 2 · Métropole 2023 (sujet 2)

Exercice 2 : Modélisation de l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique (Partie A : modèle géométrique un=0,1*1,6^n ; Partie B : modèle récurrent vn+1=f(vn) avec étude de f, récurrence, convergence vers 0,375 et analyse d'un algorithme de seuil en Python).

Exercice 3 · Métropole 2 remplacement 2023

Étude d'une suite récurrente : calcul de termes u_2 et u_3, complétion d'un algorithme Python, étude de la décroissance, convergence et calcul de sa limite à partir de la forme explicite démontrée par récurrence.

Exercice 1 - Partie B : Suites · Métropole 2022 (sujet 1)

Partie B de l'exercice 1 : Modélisation de la quantité de médicament administrée selon un deuxième protocole par la suite arithmético-géométrique u_{n+1} = 0,7 u_n + 1,8 avec u_0 = 2. Calcul de u_1, justification de la relation de récurrence, preuve par récurrence que u_n <= u_{n+1} < 6, convergence et limite l, étude…

Exercice 1 - Questions 3 et 4 · Métropole 1 remplacement 2022

Questions 3 et 4 : Nature d'une suite auxiliaire v_n = u_n - 2 et limite d'une suite u_n encadrée par deux suites convergentes.

Exercice 3 - Partie B · Métropole 1 remplacement 2022

Partie B : Étude de la suite u_(n+1) = exp(u_n / 4) avec u_0 = 1. Justifier la croissance de g, démontrer par récurrence que u_n <= u_(n+1) <= e, en déduire la convergence de (u_n). Montrer que sa limite vérifie f(x) = 1/4 et donner une valeur approchée à 10^(-2) près.

Exercice 2 - Suites · Métropole 2022 (sujet 2)

Questions 4 à 6 du QCM de l'exercice 2 : analyse des propriétés de suites numériques (encadrement, minoration par le premier terme, convergence monotone, comparaison).

Exercice 2 - QCM : Suites · Métropole 2 remplacement 2022

Exercice 2 - QCM : Suites (Questions 1 à 3). 1. Nature des suites an et bn. 2. Calcul et relations entre les termes de deux suites couplées un et vn. 3. Interprétation d'un algorithme Python calculant les termes des suites couplées.

Exercice 3 - Partie B · Métropole 2 remplacement 2022

Partie B : Étude de la suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) avec u_0 = 0,5 par récurrence, théorème de convergence monotone et calcul de la limite l.

Exercice 3 · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Exercice sur la modélisation de la décongélation de gâteaux : étude d'un modèle affine (inapproprié), puis d'un modèle par suite arithmético-géométrique (variation, convergence, forme explicite, limite, calculs de seuil et programme Python).

Exercice 3 · Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Exercice 3 : Étude d'une suite récurrente définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 4u_n / (u_n + 4). 1. Conjecturer l'expression de 4/u_n en fonction de n à l'aide d'un tableau de valeurs. 2. Démontrer par récurrence que u_n > 0. 3. Démontrer que (u_n) est décroissante. 4. En déduire la convergence de la suite. 5. Démontrer…

Exercice au choix - Exercice A · Métropole 2021 (sujet 1)

Exercice A au choix : Étude de la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 3/4 u_n + 1/4 n + 1, formule tableur, conjecture du sens de variation, démonstration par récurrence, limites et suite auxiliaire géométrique.

Exercice 2 · Métropole 2021 (sujet 2)

On considère les suites (u_n) et (v_n) avec u_0 = v_0 = 1, u_{n+1} = u_n + v_n et v_{n+1} = 2u_n + v_n. On étudie leur comportement asymptotique, la suite des rapports r_n = v_n / u_n convergente vers racine carrée de 2, et on interprète un algorithme Python de recherche de seuil.

Exercice A · Métropole 2 remplacement 2021

Étude de deux suites récurrentes croisées (un) et (vn) définies par u0 = 16, v0 = 5, u_{n+1} = (3un + 2vn)/5 et v_{n+1} = (un + vn)/2. Suite auxiliaire wn = un - vn, démonstration géométrique, signe et limite. Sens de variation, démonstration par récurrence que un >= 5, convergence, suite auxiliaire constante cn = 5un…

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