Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Exercice 1 (5 points)

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question: « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que:

65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non »;

98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

On note $R$ l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et $Q$ l'événement « l'étudiant a répondu

1.

Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}(\overline{Q})$.

2.

On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

a.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre:

b.

Montrer que $x = 0{,}9$.

3.

L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ? (arrondie à $10^{-3}$ près)