Exercice 2 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 2 (5 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale comme représenté en Figure 1. La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 cm (Figure 2).

Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par:

$$f(x) = (1 - x^2)\text{e}^x$$

L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.

1. a.

Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1; 1]$ on a $f(x) \ge 0$.

1. b.

Montrer à l'aide d'une intégration par parties que:

$$\int_{-1}^1 f(x)dx = 2\int_{-1}^1 xe^x dx.$$

2.

Le volume $V$ de chocolat, en $\text{cm}^3$, nécessaire à la fabrication d'un bonbon est donné par:

$$V = 3 \times S.$$

où $S$ est l'aire, en $\text{cm}^2$, de la surface colorée (Figure 2).

En déduire que ce volume $V$, arrondi à $0{,}1\text{ cm}^3$ près, est égal à $4{,}4\text{ cm}^3$.