Exercice 2 - Partie B : Modèle continu · Bac Mathématiques Métropole 2024 (sujet 2)

Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50\text{ m}^3$ d'eau. On rappelle que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ L}$. Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0{,}01\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0{,}70\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

Partie B: étude d'un modèle continu

Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\text{mg}\cdot\text{L}^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E): y' = -0{,}08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

1.

Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x) = C\text{e}^{-0{,}08x} + \dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.

2.

2.a.

Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.

2.b.

On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0{,}7\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$.

On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.