Exercice 2 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 2 (5 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale comme représenté en Figure 1. La base d'un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 cm (Figure 2).

Cette surface est délimitée par l'axe des abscisses et la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-1~;~1]$ par:

$$f(x) = (1 - x^2)\text{e}^x$$

L'objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon au chocolat.

Partie B

On s'intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l'artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.

Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0,01; +\infty[$ par:

$$B(q) = 8q^2(2 - 3\ln q) - 3.$$

Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros et la quantité $q$ en centaines de bonbons.

On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0,01; +\infty[$. On note $B'$ sa fonction dérivée.

1.

a.

$\lim_{q \to +\infty} B(q) =$

b.

c.

d.

2.

a.

$\beta \approx$

b.

On admet que l'équation $B(q) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,01; 1,2]$. On donne $\alpha \approx 0,757$.

En déduire le nombre minimal et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 100 euros.

Nombre minimal de bonbons:

Nombre maximal de bonbons: