Exercice 3 - Partie A - Questions 3 et 4 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 3 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = \frac{6}{1 + 5\text{e}^{-x}}.$$

On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

3. a)

On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a: $$f'(x) = \frac{30e^{-x}}{(1 + 5e^{-x})^2}$$

3. b)

En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. On admet que:

• $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, on note $f''$ sa dérivée seconde;

• pour tout réel $x$, $$f''(x) = \frac{30e^{-x}(5e^{-x} - 1)}{(1 + 5e^{-x})^3}$$

4. a)

Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. On montrera en particulier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.

4. b)

Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty; \ln 5]$, on a: $f(x) \ge \frac{5}{6}x + 1$.