Exercice 2 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 2 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d'un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.

Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\frac{1}{3}$.

S'il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\frac{3}{4}$.

S'il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\frac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on note:

$D_n$ l'évènement: « le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement »;

$\overline{D_n}$ l'évènement contraire de $D_n$;

$p_n$ la probabilité de l'évènement $D_n$.

On a donc $p_1 = \frac{1}{3}$.

Partie B: étude de la suite $(p_n)$

On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d'un nombre important d'étapes.

1.

Démontrer que pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a:

$$p_{n+1} = \frac{1}{4}p_n + \frac{1}{2}$$

On pourra s'aider d'un arbre.

2. a.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a: $p_n \leq p_{n+1} < \frac{2}{3}$.

2. b.

La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$, par $u_n = p_n - \frac{2}{3}$.

3. a.

Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

3. b.

Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.