Exercice 4.C.4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Métropole 2 Bis 2024

Exercice 4 (6 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés:

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$;

la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0\,;\,2)$;

le point $M(-2\,;\,0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2\,;\,0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et qu'elle est strictement croissante sur l'intervalle $]{-\infty}\,;\,-1]$.

Pour tout nombre réel $t \geq 0$, on pose:

$$I(t) = \int_{-2}^t f(x)\,\mathrm{d}x$$

où $f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$.

4. a.

En utilisant une intégration par parties, montrer que:

$$I(t) = (-t - 3)\mathrm{e}^{-t} + \mathrm{e}^2$$

4. b.

En déduire un exemple de surface non limitée dont l'aire est finie.