Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 3 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = \frac{6}{1 + 5\text{e}^{-x}}.$$

On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante: $$(E): y' = y - \frac{1}{6}y^2$$ On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x$ réel, on a: $$u'(x) = u(x) - \frac{1}{6}u(x)^2$$

1.

Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

2.

Résoudre l'équation différentielle $y' = -y + \frac{1}{6}$.

3. On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui ne s'annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \frac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.

3. a)

Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = -y + \frac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \frac{1}{6}y^2$.

3. b)

Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par: $$g_m(x) = \frac{6}{1 + 6me^{-x}}$$ Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E): y' = y - \frac{1}{6}y^2$.