Exercice 4 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 4 (4 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie B

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève 100 cachets et on note $M_i$, pour $i$ entier naturel compris entre 1 et 100, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé.

On considère la variable aléatoire $S$ définie par:

$$S = M_1 + M_2 + \cdots + M_{100}$$

On admet que les variables aléatoires $M_1, M_2, \ldots, M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$.

1.

Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2.

On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$. Montrer que: $s = 10\sigma$.

3.

On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à 0,9.

a.

Montrer que cette condition est équivalente à: $P(|S - 200| \ge 1) \le 0{,}1$.

b.

En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d'assurer cette condition.