Exercice 1 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2024

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.

Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.

L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.

On se place dans le repère orthonormé $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

1.

a.

Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.

b.

Justifier que les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{NF}$ ont pour coordonnées respectives:$$\vec{IJ} \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{NF} \begin{pmatrix} 0,25 \\ -0,5 \\ 0,75 \end{pmatrix}.$$

c.

Démontrer que les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{NF}$ sont orthogonaux.

On admet que $NF = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

d.

En déduire que l'aire du triangle $FIJ$ est égale à $\frac{\sqrt{21}}{8}$.

2.

On considère le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

a.

Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est: $4x - y - 2z - 2 = 0$.

c.

On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

d.

Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\frac{5\sqrt{21}}{21}$.

e.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.

Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.