Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2026

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 2.ª fase (2026)

Enunciado

Considere uma função $f$ , de domínio $\mathbb{R}$ , contínua e diferenciável.

Sabe-se que:

$f(0) = 2$ ;

$f(1) \times f(2) < 0$ ;

$f'(x) < 0$ , para qualquer $x \in \mathbb{R}$ .

Considere as proposições seguintes.

I. $f(1) > 2$ .

II. O domínio da função $\frac{1}{f}$ é $\mathbb{R}$ .

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Enunciado: Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2026

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Justifique que a proposição I é falsa: f(1) > 2

Resposta: Como f'(x) < 0 para qualquer x em R, f é estritamente decrescente em R. Sendo 1 > 0, tem-se f(1) < f(0) = 2, logo f(1) <= 2, o que contraria f(1) > 2.

Justifique que a proposição II é falsa: O domínio da função 1/f é R

Resposta: Como f é contínua em [1, 2] e f(1) x f(2) < 0, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy f tem pelo menos um zero em ]1, 2[. O domínio de 1/f exclui os zeros de f, logo não pode ser R.

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