Exercício 2 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2026

2. Seja $f$ uma função real, de domínio $\mathbb{R}^+$, cuja derivada, $f'$, de domínio $\mathbb{R}^+$, é definida por $$f'(x) = \frac{1 + 2\ln x}{x}$$

Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.

2.1.

Estude a função $f$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente o desenvolvimento analítico: cálculo de $f''(x)$, zeros, quadro de sinal e concavidades, e conclusões.

2.2.

Considere, em referencial o.n. $xOy$, as retas $r$ e $s$. Sabe-se que:

a reta $r$ é tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $A$, de coordenadas $(e, 2)$;

a reta $s$ é perpendicular à reta $r$ e intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $-3$;

a reta $s$ intersecta o eixo $Oy$ no ponto $B$.

Determine a área do triângulo $[AOB]$.