Ejercicio 40 - Examen 2 - Ejercicio 1 (1 pto.): Desigualdad… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Demuestra formalmente la validez de la siguiente desigualdad para todo $x > 0$: $\frac{x}{1+x^2} < \arctan(x) < x$

Solución: Consideramos las tres funciones $g(x) = \frac{x}{1+x^2}$, $f(x) = \arctan x$ y $h(x) = x$. En el origen coinciden: $g(0) = f(0) = h(0) = 0$. Derivando cada una para $x > 0$: $$g'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}\cdot\frac{1}{1+x^2} < \frac{1}{1+x^2} = f'(x) < 1 = h'(x)$$ Dado que $g'(x) < f'(x) < h'(x)$ en todo el intervalo abierto $(0, +\infty)$ y las funciones son continuas en $[0, +\infty)$, por el teorema del valor medio se concluye que $g(x) < f(x) < h(x)$ para todo $x > 0$.