Ejercicio 51. Examen 5 - Ejercicio 5. Convergencia absoluta… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Justificación y desarrollo razonado de la convergencia de la serie

Solución: Estudiamos la convergencia absoluta considerando el valor absoluto del término general: $$|a_n| = \frac{|\sin n|}{\sqrt{n^3 + \cos^3 n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^3 - 1}}$$ Para $n \to \infty$, $\frac{1}{\sqrt{n^3 - 1}} \sim \frac{1}{n^{3/2}}$. Como la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ es una serie armónica de orden $p = 3/2 > 1$, converge. Por el criterio de comparación ordinaria, $\sum |a_n|$ converge, por lo que la serie dada converge absolutamente.

Carácter de la serie

Solución: A) Converge absolutamente