Ejercicio 66 - Examen 8 - Problema 1: Estudio analítico com… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Abscisa x del extremo relativo (máximo relativo)

Solución: 0

a. Valor máximo f(x)

Solución: 2

b. Calcula el límite lim_{x -> -inf} f(x)

Solución: 1

c. Prueba formalmente la existencia de un único cero real x_0 tal que f(x_0) = 0

Solución: Para x <= 0, f(x) > 1, no hay ceros. Para x > 0, f es continua y estrictamente decreciente, con f(0) = 2 > 0 y f(2) = 1 - e^2 < 0. Por el teorema de Bolzano y la monotonía estricta, existe un único cero en (0, 2).

d. Determina la concavidad y puntos de inflexión

Solución: -1

d. Esboza su gráfica

Solución: Gráfica con asíntota horizontal y = 1 cuando x tiende a -infinito, punto de inflexión en (-1, 1 + 2/e), máximo local en (0, 2), decreciente para x > 0 cortando al eje OX en un único punto x_0 perteneciente a (0, 2) y tendiendo a -infinito cuando x tiende a +infinito.