Ejercicio 9. Examen Final 9. Taylor hiperbólico, alternadas… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

9. Examen Final 9. Taylor hiperbólico, alternadas y cálculo de primitivas

a)

Sea $f(x) = e^{\sinh x} + x$ en $\mathbb{R}$.

1. Hallar los tres primeros términos no nulos del polinomio de Taylor en $x = 0$.

2. Probar que existe $f^{-1}$ y calcular su derivada en el punto $y = 1$.

Por el teorema de la función inversa, $(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)}$.

b)

Determinar el carácter de convergencia de la serie:

$$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{n \sin^2 n}{\sqrt{2n^5 + 1}} + \frac{(-1)^n}{\log n} \right)$$

c)

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x}{\sin^2 x}$.

d)

Calcular la integral definida $\int_1^e x \log x \, dx$.

e)

Dada $F(x) = \int_{-2}^{3x-x^2} t e^{t^4} \, dt$ en $[0, 2]$:

determinar en qué puntos alcanza su máximo y mínimo absoluto.

f)

1. Hallar el dominio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{\sqrt{n+1}}$.

2. Estudiar si converge uniformemente en $\mathbb{R}$ la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan(nx)}{5^n}$.

g)

Calcular la primitiva $\int \frac{x+2}{x^3-8} \, dx$.

h)

Analizar la convergencia de la impropia $\int_0^{\infty} \frac{\arctan x}{x^{3/2}} \, dx$.