Ejercicio 66. Examen 8 - Ejercicio 3. Impropia de segunda e… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Mètodes de demostració · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

66. Examen 8 - Ejercicio 3. Impropia de segunda especie con radicales

Determinar razonadamente si converge la integral impropia:

∫2+3g(x) dx\int_{2^+}^3 \sqrt{g(x)}\,dx

siendo g(x)=x3+x2−7(x−2)(x2+1)g(x) = \frac{x^3+x^2-7}{(x-2)(x^2+1)} la función del ejercicio anterior.

Enunciado: Ejercicio 66. Examen 8 - Ejercicio 3. Impropia de segunda e… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Convergencia de la integral (¿converge o diverge?):

Solución: Converge

Razonamiento / justificación detallada:

Solución: El integrando es asintóticamente equivalente a 1(x−2)1/2\frac{1}{(x-2)^{1/2}} cuando x→2+x \to 2^+, y la integral impropia ∫23dx(x−2)1/2\int_2^3 \frac{dx}{(x-2)^{1/2}} converge porque p=1/2<1p = 1/2 < 1.

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