Ejercicio 58 - Examen 6 - Ejercicio 1: Teoremas de Bolzano… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Demuestra que la ecuación $x^2 = x\sin x + \cos x$ posee exactamente dos soluciones reales.

Solución: Sea $f(x) = x^2 - x\sin x - \cos x$. Por Bolzano tiene al menos una raíz en $(-\pi, 0)$ y otra en $(0, \pi)$. Por Rolle, como $f'(x) = x(2 - \cos x)$ solo se anula en $x = 0$, $f$ no puede tener más de dos raíces.

b. Demuestra que para todo $x \in \mathbb{R}$ se verifica que $1 - \frac{x^2}{2} \leq \cos x$.

Solución: Definiendo $h(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$, es par con $h(0) = 0$. Dado que $h''(x) = 1 - \cos x \geq 0$, $h'$ es creciente y $h'(x) > h'(0) = 0$ para $x > 0$. Así, $h(x) \geq h(0) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.