Ejercicio 6. Examen Final 6. Asíntotas, convergencia unifor… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. Hallar los límites en el infinito, demostrar que f' se anula en un único punto en todo su dominio

Solución: $$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 0$$ $$f'(x) = e^{3x-x^2}(3 + 3x^2 - 2x^3)$$ $$P(x) = 3 + 3x^2 - 2x^3$$ se anula exactamente una vez en $c \in (1, 2)$.

a. estudiar el número de soluciones de f(x) = 1

Solución: 2

b. 1. Hallar el límite puntual de f_n(x) = (sin x)^n en [0, pi] y discutir si la convergencia es uniforme.

Solución: $$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = \pi/2 \\ 0 & \text{si } x \in [0, \pi] \setminus \{\pi/2\} \end{cases}$$ La convergencia no es uniforme.

b. 2. Hallar el desarrollo de Taylor en el origen hasta el orden 4 de f(x) = cos(2x)/(1+x^2).

Solución: $$1 - 3x^2 + \frac{11}{3}x^4$$

c. Determinar el carácter de convergencia de la serie sum_{n=0}^infty (n!)^2 / (2n)!.

Solución: Convergente

d. Calcular la integral int_0^(pi/2) cos(2x) cos x dx.

Solución: $$\frac{1}{3}$$

e. Sea f(x) = x - int_1^x cos(sin t) dt. Hallar los extremos absolutos de f en el intervalo [1, 4].

Solución: Mínimo absoluto en $x = 1$ (valor $f(1) = 1$); máximo absoluto en $x = 4$.

f. Analizar la convergencia de la integral impropia int_0^infty (sin sqrt(x))/(e^(x^2) - 1) dx.

Solución: Divergente