Ejercicio 35. Examen 3 - Ejercicio 1. Divergencia del produ… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Demostrar rigurosamente que si la sucesión {a_n} está acotada y sus únicos puntos de acumulación son 10^7 y 10^(-7), y la sucesión {b_n} diverge hacia +\infty, entonces la sucesión {a_n b_n} diverge hacia +\infty.

Solución: Dado que los únicos puntos de acumulación de {$a_n$} son $10^7$ y $10^{-7} > 0$, para todo $\varepsilon > 0$ el conjunto de términos fuera del entorno $(10^{-7}-\varepsilon, 10^{-7}+\varepsilon) \cup (10^7-\varepsilon, 10^7+\varepsilon)$ debe ser finito. Tomando por ejemplo $\varepsilon = 10^{-7}-10^{-8}$, existe un índice $N_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \ge N_1$ se cumple: $$a_n > 10^{-8}$$ Por otra parte, como $b_n \to +\infty$, dado cualquier número $M > 0$ existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tal que para $n \ge N_2$: $$b_n > 10^8 M$$ Tomando $N = \max\{N_1, N_2\}$, para todo $n \ge N$ tenemos: $$a_n b_n > 10^{-8} \cdot 10^8 M = M$$ Esto demuestra formalmente que $\lim_{n\to\infty} a_n b_n = +\infty$.