Ejercicio 58. Examen 6 - Ejercicio 6. Convergencia de integ… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Conclusión sobre la convergencia de la integral (convergente / divergente):

Solución: Convergente

Desarrollo y justificación del estudio de las impropiedades:

Solución: Presenta dos impropiedades: en $x = 4^+$ y en $\infty$. Dividimos la integral en $\int_4^5 + \int_5^\infty$. • En $x \to 4^+$: El numerador tiende a $\arctan(1/4) > 0$ y el denominador se anula como $2^{1/3}(x - 4)^{1/3}$: $$\frac{\arctan(1/x)}{(2x - 8)^{1/3}} \sim \frac{\arctan(1/4)}{2^{1/3}(x - 4)^{1/3}}$$ Puesto que $p = 1/3 < 1$, la integral converge en $x = 4^+$. • En $x \to \infty$: Usamos $\arctan(1/x) \sim \frac{1}{x}$ y $(2x - 8)^{1/3} \sim 2^{1/3}x^{1/3}$: $$\frac{\arctan(1/x)}{(2x - 8)^{1/3}} \sim \frac{1/x}{2^{1/3}x^{1/3}} = \frac{1}{2^{1/3}x^{4/3}}$$ Al ser $p = 4/3 > 1$, la integral converge en el infinito. Por tanto, la integral es convergente.