Exámenes de Matemáticas II UPC 2023
Los 5 exámenes de Matemáticas II de la UPC (Grado en Estudios de Arquitectura) de 2023 (Juny y Examen final de Matemàtiques II (29 de maig de 2023)), con 34 problemas resueltos. Entran temas como Trigonometria i geometria mètrica plana. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Juny (2023)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Equacions diferencials de primer ordre · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
- Pregunta 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Càlcul de les dimensions d'un arc apuntat: longituds de segments OB i OD, fletxa h, angle beta i àrea compresa entre l'arc i la línia d'imposta. - Pregunta 2 - Domini, recorregut i corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Pregunta 2 (apartats a i b): Donada f(x, y) = 5 - sqrt(x^2 + y^2), determinar el domini i recorregut de la funció, i dibuixar les corbes de nivell per a z = -10, 0, 5 i 10. - Pregunta 2 - Pendent màxim · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Pregunta 2 (apartat c): Donada f(x, y) = 5 - sqrt(x^2 + y^2), trobar el valor del pendent màxim en el punt (4, -3). - Pregunta 2 - Pla tangent · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Pregunta 2 (apartat d): Donada f(x, y) = 5 - sqrt(x^2 + y^2), escriure l'equació del pla tangent a la superfície z = f(x, y) en el punt (4, -3, f(4, -3)). - Pregunta 3 · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
Pregunta 3 (1,50 punts). Calculeu i determineu la naturalesa dels punts crítics de la funció definida per f(x, y) = xy e^(x+2y). - Pregunta 4 · Equacions diferencials de primer ordre
Es considera l'equació diferencial lineal xy' = 2y + x^5/(x^2 + 1). Es demana verificar que és lineal, trobar la solució homogènia associada, aplicar variació de constants per a una solució… - Pregunta 5 · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
Es considera el sòlid en el primer octant delimitat pels cilindres x^2 + y^2 = 4 i x^2 + y^2 = 9, i tancat superiorment pel pla z = x + y + 1. Es demana dibuixar i descriure la regió base sobre el… - Pregunta 6 · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums
Pregunta 6. Es considera la corba en polars r(theta) = cos^3(theta). a) Trobar les coordenades cartesianes (x,y) per a theta = 0, pi/2, pi. b) Calcular l'àrea delimitada per la corba tancada.
Examen final de Matemàtiques II (29 de maig de 2023) (2023)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Equacions diferencials de primer ordre · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
- Pregunta 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Geometria d'un arc carpanell conformat per tres arcs de circumferència tangents. Es demana determinar el valor del radi r de l'arc central, la mesura dels angles alfa i beta, i la superfície compresa… - Pregunta 2 · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Pregunta 2: Anàlisi de superfícies quàdriques i plans tangents. a) Equació general del pla tangent en (a,b,c) i relació geomètrica amb el gradient. b) Traces de x^2 - y^2 + z^2 = 25 amb x=0, y=0, z=0… - Pregunta 3 · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange
Pregunta 3: Extrems condicionats sobre una el·lipse d'equació 2x^2 + 2xy + 3y^2 = 5. a) Formulació del problema d'optimització condicionada: funció objectiu i restricció. b) Resolució pel mètode de… - Pregunta 4 · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums
Pregunta 4 (1,50 punts). Coordenades polars i àrea del cargol de Pascal: descriure el significat geomètric de r i θ i el canvi a cartesianes, i calcular l'àrea exacta de la corba r(θ) = 1 + 2/3… - Pregunta 5 · Equacions diferencials de primer ordre
Resolució completa d'una equació diferencial lineal de primer ordre mitjançant variació de constants i càlcul de la solució particular que compleix la condició de tangent paral·lela a y = 8x. - Pregunta 6 · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
Càlcul d'una integral doble mitjançant el canvi d'ordre d'integració i descripció del domini pla.
Examen final de Matemàtiques II (Gener 2023) (2023)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Equacions diferencials de primer ordre · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
- Exercici 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Es disposa del plànol d'un terreny amb cotes d = 7 cm, r = 3 cm, a = 2 cm i b = 3 cm, on totes les rectes que toquen el cercle en són tangents. Es demana trobar x, y i l'angle alfa, i determinar la… - Exercici 2 - Domini i corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Exercici 2 (apartats a i b): Estudi del domini, recorregut i representació de corbes de nivell de f(x, y) = sqrt(y^2 - x^2 - 9). - Exercici 2 - Derivades parcials i direccional · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Exercici 2 (apartat c): Calculeu les derivades parcials primeres en el punt (0,5) i deduïu el valor de la derivada direccional en aquest mateix punt en el sentit del vector (1,1). - Exercici 2 - Pla tangent · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Exercici 2 (apartat d): Obtingueu l'equació del pla tangent a la gràfica de la funció en el punt (0, 5, f(0,5)). - Exercici 3 · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
Considereu la funció f(x, y) = 3x^2y + y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 2. a. Localitzeu tots els punts crítics de la funció. b. Classifiqueu cadascun dels punts crítics trobats en màxims locals, mínims locals o… - Exercici 4 · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums
Exercici 4 (1,5 punts). Considerem la concoide de Nicomedes en coordenades polars r(θ) = 1/cos(θ) + √2. a) Raoneu que l'interval angular associat al llaç situat a l'esquerra de l'eix vertical Y és… - Exercici 5 · Equacions diferencials de primer ordre
Es considera l'equació diferencial 2xy' - 3y = 4x^2. a) Classifiqueu l'equació segons el seu tipus i ordre. b) Trobeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada. c) Determineu… - Exercici 6 · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
Calculeu el valor de la integral doble $\iint_D \sqrt{2x + 3y} \cdot \sqrt{x - 3y}\, dx\, dy$ sobre el paral·lelogram $D$ delimitat per les rectes $2x + 3y = 1$, $2x + 3y = 4$, $x - 3y = 1$ i $x - 3y…
Primer control - Primavera (30 de març de 2023) (2023)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
- Pregunta 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Pregunta 1 (2 punts). A partir de la figura amb mides conegudes en metres (AB = 1, CF = 1, alpha = 60°, beta = 70°, gamma = 40°): a) Determineu l'angle CEF i les longituds dels segments BC i CE. b)… - Pregunta 2 - Domini i recorregut · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Trobeu el domini i el recorregut de la funció f(x,y) = y*sqrt(y^2 - x) i feu-ne una representació gràfica del domini en el pla real. - Pregunta 2 - Recta tangent i normal · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Pregunta 2 (apartats b i c): Donada la funció escalar f(x,y) = y*sqrt(y^2 - x), determinar l'expressió de la corba de nivell que passa per (0,1), l'equació de la recta tangent a aquesta corba en… - Pregunta 3 - Regió de signe · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Representar esquemàticament la regió del pla A = {(x,y) in R^2 | f(x,y) > 0} per a f(x,y) = (x^2 - y^2 - 1)(x + 1). - Pregunta 3 - Punts crítics · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
Determinar i classificar els punts crítics de f(x,y) = (x^2 - y^2 - 1)(x + 1). - Pregunta 4 · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Interpretació d'un mapa de corbes de nivell d'una piràmide de base rectangular: croquis 3D, estudi de punts de diferenciabilitat, derivades parcials i direccionals, i pendent mínim.
Primer control de Matemàtiques II (30 de març de 2023) (2023)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
- Exercici 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
En una parcel·la triangular ABC amb un obstacle entre A i B, es coneixen CD = 1, DA = 6, CE = 1, EB = 5 i DE = √3. Cal calcular: a) la distància d_AB, b) la superfície del triangle ABC, c) l'àrea del… - Exercici 2 - Domini i recorregut · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Trobar el domini de definició de f(x, y) = x^2 sqrt(x - y), representar-lo gràficament i determinar el seu recorregut. - Exercici 2 - Corba de nivell i recta normal · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Trobar la recta tangent a la corba de nivell c = 1 en (1,0) i l'equació contínua de la recta normal a la superfície en el punt corresponent. - Exercici 3 - Regió del pla · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Representar gràficament la regió del pla A = {(x,y) in R^2 | f(x,y) > 0} per a f(x,y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - 1). - Exercici 3 - Punts crítics · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
Exercici 3.b: Trobeu tots els punts crítics de la funció f(x,y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - 1) i determineu-ne la seva naturalesa (classifiqueu-los). - Exercici 4 · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Estudi d'una piràmide a partir del mapa de corbes de nivell: diferenciabilitat, derivades parcials, derivades direccionals i pendent màxim.
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Trigonometria i geometria mètrica plana · 9 problemas · 90 % de que salga
- Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · 9 problemas · 90 % de que salga
- Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · 11 problemas · 80 % de que salga
- Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · 9 problemas · 80 % de que salga
- Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · 6 problemas · 70 % de que salga
- Equacions diferencials de primer ordre · 6 problemas · 70 % de que salga