Examen de Matemáticas II UPC 2023 · final de Matemàtiques II (Gener 2023)

Exercici 1 [1,5 punts]. Mesures geomètriques i àrea a escala d'una parcel·la

Es disposa del plànol d'un terreny sobre el qual s'han obtingut les cotes $d = 7\text{ cm}$, $r = 3\text{ cm}$, $a = 2\text{ cm}$ i $b = 3\text{ cm}$. Totes les rectes que toquen el cercle en són tangents.

a)

Trobeu la longitud dels segments $x$ i $y$, així com el valor de l'angle $\alpha$ indicat al croquis.

b)

Suposant que el dibuix es troba a escala 1:2500, determineu la superfície real (en metres quadrats) de la zona ombrejada amb punts.

Exercici 2 (2 punts). Estudi d'una funció de dues variables

Sigui la funció escalar definida per $f(x, y) = \sqrt{y^2 - x^2 - 9}$.

a.

Determineu de forma justificada el domini i la imatge (recorregut) de $f(x, y)$.

b.

Doneu l'equació de les corbes de nivell corresponents a les altures 0 i 4, i traceu un esbós gràfic d'aquestes.

Exercici 2 (2 punts). Estudi d'una funció de dues variables

Sigui la funció escalar definida per $f(x, y) = \sqrt{y^2 - x^2 - 9}$.

c.

Calculeu les derivades parcials primeres en el punt $(0,5)$ i deduïu el valor de la derivada direccional en aquest mateix punt en el sentit del vector $(1,1)$.

Exercici 2 (2 punts). Estudi d'una funció de dues variables

Sigui la funció escalar definida per $f(x, y) = \sqrt{y^2 - x^2 - 9}$.

d.

Obtingueu l'equació del pla tangent a la gràfica de la funció en el punt $(0, 5, f(0,5))$.

Exercici 3 (1,5 punts). Extrems relatius i punts de sella

Considereu la funció real de dues variables $f(x, y) = 3x^2y + y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 2$.

a.

Localitzeu tots els punts crítics de la funció.

b.

Classifiqueu cadascun dels punts crítics trobats en màxims locals, mínims locals o punts de sella mitjançant la matriu hessiana.

Exercici 4 (1,5 punts). Àrea delimitada pel llaç d'una concoide

La concoide de Nicomedes és una corba clàssica utilitzada històricament per resoldre problemes de duplicació del cub o trisecció de l'angle. Considerem la concoide expressada en coordenades polars mitjançant l'equació:

$$r(\theta) = \frac{1}{\cos \theta} + \sqrt{2}$$

A continuació se'n mostra la gràfica:

a)

Raoneu que l'interval angular associat al llaç situat a l'esquerra de l'eix vertical $Y$ és $\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$. (Pista: determineu els valors d'angle en què la trajectòria creua l'origen).

b)

Calculeu l'àrea interior tancada per aquest llaç.

Exercici 5 (2 punts). Resolució d'una equació diferencial lineal de primer ordre

Es considera l'equació diferencial:$$2xy' - 3y = 4x^2$$

a.

Classifiqueu l'equació segons el seu tipus i indiqueu el seu ordre.

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada.

c.

Determineu una solució particular de l'equació completa.

d.

Establiu la solució general de l'equació no homogènia.

e.

Calculeu la solució particular que compleix la condició inicial $y(1) = 6$.

Exercici 6 (1,5 punts). Integral doble mitjançant canvi de variables

Calculeu el valor de la integral doble següent:

$$\iint_D \sqrt{2x + 3y} \cdot \sqrt{x - 3y}\, dx\, dy$$

on el domini d'integració $D$ és el paral·lelogram tancat per les quatre rectes:

$$2x + 3y = 1,\quad 2x + 3y = 4,\quad x - 3y = 1\quad \text{i}\quad x - 3y = 4.$$