Examen de Matemáticas II UPC 2023 · final de Matemàtiques II (29 de maig de 2023)

Pregunta 1 [1,50 punts]. Geometria d'un arc carpanell

A la figura inferior s'il·lustra un arc carpanell conformat per tres arcs de circumferència mútuament tangents. L'arc del mig té un radi $r$ desconegut, mentre que els dos arcs dels extrems, que resulten tangents als brancals de l'obertura, tenen un radi d'$1\text{ m}$. La llum total de l'obertura mesura $4\text{ m}$ i la sageta o fletxa fa $1{,}25\text{ m}$.

Es demana determinar:

a)

El valor del radi $r$ de l'arc central. [0,50 punts]

b)

La mesura dels angles $\alpha$ (dels arcs laterals) i $\beta$ (de l'arc central). [0,50 punts]

c)

La superfície compresa entre el perfil de l'arc i la línia d'imposta (definida pel segment $A_1A_2$). [0,50 punts]

Pregunta 2 (2,00 punts). Anàlisi de superfícies quàdriques i plans tangents

Considereu una superfície expressada de forma implícita per l'equació $F(x, y, z) = 0$, essent $F$ diferenciable en un determinat punt $(a, b, c)$.

a)

[0,50 punts] Escriviu l'equació general del pla tangent a la superfície en $(a, b, c)$. Quina relació de tipus geomètric existeix entre el vector gradient $\vec{\nabla} F(a, b, c)$ i aquest pla tangent?

b)

[0,50 punts] Preneu la superfície quàdrica $x^2 - y^2 + z^2 = 25$. Trobeu les traces o corbes d'intersecció amb els tres plans de coordenades ($x = 0$, $y = 0$ i $z = 0$), doneu-ne les equacions i descriviu el seu tipus.

c)

[0,50 punts] Identifiqueu de quin tipus de quàdrica es tracta i feu-ne una descripció qualitativa o croquis.

d)

[0,50 punts] Deduïu l'equació del pla tangent a aquesta superfície en el punt $(1, -1, 5)$.

Pregunta 3 (1,50 punts). Extrems condicionats sobre una el·lipse

Es pretenen determinar els punts pertanyents a l'el·lipse d'equació $2x^2 + 2xy + 3y^2 = 5$ que es troben a distància màxima i mínima respecte de l'origen de coordenades.

a)

[0,50 punts] Formuleu el problema d'optimització condicionada tot indicant la funció objectiu i la funció que defineix la restricció.

b)

[1,00 punts] Resoleu el sistema associat mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange i determineu les coordenades dels punts solució, així com els valors extrems de la distància.

Pregunta 4 (1,50 punts). Coordenades polars i àrea del cargol de Pascal

Es considera la corba tancada coneguda com a cargol de Pascal representada a la imatge, l'equació de la qual en coordenades polars ve donada per:

$$r(\theta) = 1 + \frac{2}{3}\cos(\theta)$$

a)

[0,50 punts] Descriviu el significat geomètric de les variables polars $r$ i $\theta$ i com es relacionen formalment amb les coordenades cartesianes $x$ i $y$.

b)

[1,00 punts] Calculeu el valor exacte de l'àrea del recinte limitat per aquesta corba tancada.

Pregunta 5 (2,00 punts). Resolució d'una equació diferencial lineal

Es considera l'equació diferencial ordinària següent:

$$(1 + x^4)y' - 8x^3y = 2x(1 + x^4)^3$$

a)

[0,25 punts] Verifiqueu que es tracta d'una equació diferencial lineal de primer ordre i escriviu-la en forma canònica.

b)

[0,50 punts] Trobeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada $y_h(x)$ (useu $k$ com a constant):

c)

[0,50 punts] Determineu una solució particular $y_p(x)$ de l'equació completa emprant el mètode de variació de les constants:

d)

[0,25 punts] Indiqueu la solució general $y(x)$ de l'equació completa (en funció de $k$):

e)

[0,50 punts] Calculeu la solució particular que compleix que la seva recta tangent en el punt $x = 1$ és paral·lela a la recta d'equació $y = 8x$:

Pregunta 6 (1,50 punts). Integral doble i canvi d'ordre d'integració

Es considera la integral doble iterada següent:

$$\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \frac{1}{\sqrt{x + y^2}}\,dy\,dx$$

a)

[0,50 punts] Dibuixeu i descriviu el recinte d'integració $D$ en el pla cartesià $xy$.

b)

[1,00 punts] Calculeu el valor exacte de la integral efectuant prèviament una permutació en l'ordre d'integració: