Pregunta 4 · Matemáticas II UPC Juny 2023

a. [0,25 punts] Verifiqueu que es tracta d'una equació lineal.

Solución: Dividint per $x$: $y' - \frac{2}{x}y = \frac{x^4}{x^2 + 1}$, que és de la forma $y' + P(x)y = Q(x)$ amb $P(x) = -\frac{2}{x}$ i $Q(x) = \frac{x^4}{x^2 + 1}$.

b. [0,50 punts] Calculeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada.

Solución: $y_h(x) = kx^2$

c. [0,50 punts] Apliqueu el mètode de variació de constants per trobar una solució particular.

Solución: $y_p(x) = (x - \arctan(x))x^2$

d. [0,25 punts] Expresseu la solució general de l'equació completa.

Solución: $y(x) = kx^2 + (x - \arctan(x))x^2$ / $y(x) = (k + x - \arctan(x))x^2$

e. [0,50 punts] Trobeu la solució particular la corba de la qual talla la recta $y = 2x$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Solución: $y(x) = \left(1 + \frac{\pi}{4} + x - \arctan(x)\right)x^2$