Exercici 4 · Matemáticas II UPC 2023

Tema: Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Del examen Primer control de Matemàtiques II (30 de març de 2023) (2023)

Enunciado

Exercici 4 (2 punts). Piràmide, corbes de nivell i derivades direccionals

Es considera una superfície z=f(x,y)z = f(x,y) corresponent a una piràmide rectilínia de base rectangular, de la qual es mostren les corbes de nivell per als valors enters del 0 al 10. Cada corba de nivell és un rectangle amb relació d'aspecte (proporció) 2, llevat de la cota 10, que es redueix al vèrtex superior (un punt a l'origen). La corba de cota 0 tanca i delimita el domini de la funció.

Resoleu cadascun dels apartats següents [0,25 punts cadascun]:

a.

Feu un esquema tridimensional aproximat d'aquesta superfície a l'espai R3\mathbb{R}^3.

b.

Determineu de manera precisa en quins punts del domini la funció ff és diferenciable i en quins punts no ho és.

c.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f∂x(0,0)\frac{\partial f}{\partial x}(0,0).

d.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f∂x(4,0)\frac{\partial f}{\partial x}(4,0).

e.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f∂y(4,0)\frac{\partial f}{\partial y}(4,0).

f.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada direccional ∂f∂v⃗(4,8)\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(4,8) en la direcció del vector v⃗=(1,2)\vec{v} = (1,2).

g.

Sobre el pla de les corbes de nivell, indiqueu la direcció de màxim pendent en el punt (4,0)(4,0).

h.

Quin valor pren el pendent màxim en aquest mateix punt (4,0)(4,0)?

Enunciado: Exercici 4 · Matemáticas II UPC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Feu un esquema tridimensional aproximat d'aquesta superfície a l'espai ℝ³.

Solución: Piràmide de base rectangular centrada a l'origen, situada al pla z=0z = 0 dins de l'interval [−5,5]×[−10,10][-5, 5] \times [-10, 10], amb el vèrtex superior a la posició (0,0,10)(0, 0, 10). Les quatre cares laterals són plans triangulars inclinats que s'uneixen a les quatre arestes i al vèrtex.

b. Determineu de manera precisa en quins punts del domini la funció f és diferenciable i en quins punts no ho és.

Solución: Diferenciable a l'interior de les quatre cares triangulars: { (x,y) ∈ (-5,5) × (-10,10) | y ≠ 2x, y ≠ -2x }. No és diferenciable a les arestes (rectes y = 2x, y = -2x), ni al vèrtex (0,0), ni a la frontera del domini.

c. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f/∂x(0,0).

Solución: No existeix

d. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f/∂x(4,0): valor numèric

Solución: -2

d. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f/∂x(4,0): justificació

Solución: El punt està a l'interior de la cara dreta, on la cota passa de 10 a 0 en una distància horitzontal de 5 unitats al llarg de l'eix OX, per tant el pendent és constant i val (0 - 10)/(5 - 0) = -2.

e. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f/∂y(4,0): valor numèric

Solución: 0

e. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial ∂f/∂y(4,0): justificació

Solución: La direcció de l'eix OY és paral·lela a la corba de nivell z = 2 en aquest punt, de manera que la cota es manté constant i la derivada és 0.

f. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada direccional ∂f/∂v(4,8) en la direcció del vector v = (1,2): justificació

Solución: El punt (4,8) és sobre l'aresta y = 2x, que va del vèrtex (0,0,10) al cantó de la base (5,10,0). El vector v té la mateixa direcció que l'aresta. La distància sobre el pla és d = √(5² + 10²) = 5√5 i Δz = -10.

f. Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada direccional ∂f/∂v(4,8) en la direcció del vector v = (1,2): valor numèric

Solución: -(2√5)/5 / -0.8944 / -2/√5

g. Sobre el pla de les corbes de nivell, indiqueu la direcció de màxim pendent en el punt (4,0).

Solución: (-1,0) / cap al vèrtex / sentit negatiu de l'eix OX

h. Quin valor pren el pendent màxim en aquest mateix punt (4,0)?

Solución: 2

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Pregunta 4 · 2023 · Pregunta 2 - Pendent màxim · Juny 2023 ›

Más ejercicios de Derivades parcials, gradient i derivades direccionals