Pregunta 2 · Matemáticas II UPC 2023

Tema: Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Del examen Examen final de Matemàtiques II (29 de maig de 2023) (2023)

Enunciado

Pregunta 2 (2,00 punts). Anàlisi de superfícies quàdriques i plans tangents

Considereu una superfície expressada de forma implícita per l'equació F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0, essent FF diferenciable en un determinat punt (a,b,c)(a, b, c).

a)

[0,50 punts] Escriviu l'equació general del pla tangent a la superfície en (a,b,c)(a, b, c). Quina relació de tipus geomètric existeix entre el vector gradient ∇⃗F(a,b,c)\vec{\nabla} F(a, b, c) i aquest pla tangent?

b)

[0,50 punts] Preneu la superfície quàdrica x2−y2+z2=25x^2 - y^2 + z^2 = 25. Trobeu les traces o corbes d'intersecció amb els tres plans de coordenades (x=0x = 0, y=0y = 0 i z=0z = 0), doneu-ne les equacions i descriviu el seu tipus.

c)

[0,50 punts] Identifiqueu de quin tipus de quàdrica es tracta i feu-ne una descripció qualitativa o croquis.

d)

[0,50 punts] Deduïu l'equació del pla tangent a aquesta superfície en el punt (1,−1,5)(1, -1, 5).

Enunciado: Pregunta 2 · Matemáticas II UPC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Quina relació de tipus geomètric existeix entre el vector gradient ∇⃗F(a,b,c)\vec{\nabla} F(a, b, c) i aquest pla tangent?

Solución: Perpendicular / Ortogonal

Escriviu l'equació general del pla tangent a la superfície en (a,b,c)(a, b, c).

Solución: ∂F∂x(a,b,c)(x−a)+∂F∂y(a,b,c)(y−b)+∂F∂z(a,b,c)(z−c)=0\frac{\partial F}{\partial x}(a,b,c)(x-a) + \frac{\partial F}{\partial y}(a,b,c)(y-b) + \frac{\partial F}{\partial z}(a,b,c)(z-c) = 0

Descriviu el tipus de traça amb x=0x = 0:

Solución: Hipèrbola / Hipèrbola equilàtera

Descriviu el tipus de traça amb y=0y = 0:

Solución: Circumferència / Circumferència de radi 5

Descriviu el tipus de traça amb z=0z = 0:

Solución: Hipèrbola / Hipèrbola equilàtera

Identifiqueu de quin tipus de quàdrica es tracta

Solución: Hiperboloide d'un full / Hiperboloide hiperbòlic de revolució

d) Deduïu l'equació del pla tangent a aquesta superfície en el punt (1,−1,5)(1, -1, 5).

Solución: x+y+5z=25x + y + 5z = 25

c) Feu-ne una descripció qualitativa o croquis.

Solución: Croquis o dibuix d'un hiperboloide d'un full orientat al voltant de l'eix OY, mostrant seccions circulars perpendiculars a OY i perfils hiperbòlics.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 2 - Pla tangent · 2023 ›

Más ejercicios de Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques