Pregunta 1 · Matemáticas II UPC 2023

Pregunta 1 [1,50 punts]. Geometria d'un arc carpanell

A la figura inferior s'il·lustra un arc carpanell conformat per tres arcs de circumferència mútuament tangents. L'arc del mig té un radi $r$ desconegut, mentre que els dos arcs dels extrems, que resulten tangents als brancals de l'obertura, tenen un radi d'$1\text{ m}$. La llum total de l'obertura mesura $4\text{ m}$ i la sageta o fletxa fa $1{,}25\text{ m}$.

Es demana determinar:

a)

El valor del radi $r$ de l'arc central. [0,50 punts]

b)

La mesura dels angles $\alpha$ (dels arcs laterals) i $\beta$ (de l'arc central). [0,50 punts]

c)

La superfície compresa entre el perfil de l'arc i la línia d'imposta (definida pel segment $A_1A_2$). [0,50 punts]