Pregunta 3 · Matemáticas II UPC 2023

Tema: Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange · Del examen Examen final de Matemàtiques II (29 de maig de 2023) (2023)

Enunciado

Pregunta 3 (1,50 punts). Extrems condicionats sobre una el·lipse

Es pretenen determinar els punts pertanyents a l'el·lipse d'equació 2x2+2xy+3y2=52x^2 + 2xy + 3y^2 = 5 que es troben a distància màxima i mínima respecte de l'origen de coordenades.

a)

[0,50 punts] Formuleu el problema d'optimització condicionada tot indicant la funció objectiu i la funció que defineix la restricció.

b)

[1,00 punts] Resoleu el sistema associat mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange i determineu les coordenades dels punts solució, així com els valors extrems de la distància.

Enunciado: Pregunta 3 · Matemáticas II UPC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Funció objectiu tot indicant la funció que defineix el problema

Solución: f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2

Funció que defineix la restricció

Solución: g(x,y)=2x2+2xy+3y2−5=0g(x, y) = 2x^2 + 2xy + 3y^2 - 5 = 0

Resoleu el sistema associat mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange i determineu les coordenades dels punts solució

Solución: (−5−12,1),(5−12,1),(5+12,−1),(−5+12,−1)\left(\frac{-\sqrt{5}-1}{2}, 1\right), \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, 1\right), \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}, -1\right), \left(\frac{-\sqrt{5}+1}{2}, -1\right)

Valors extrems de la distància màxima

Solución: 5+52≈1,90211\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \approx 1{,}90211

Valors extrems de la distància mínima

Solución: 5−52≈1,17557\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} \approx 1{,}17557

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 4 · 2022 ›

Más ejercicios de Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange