Pregunta 4 · Matemáticas II UPC 2023

a. Feu un croquis aproximat d'aquesta superfície a l'espai tridimensional $\mathbb{R}^3$.

Solución: Piràmide recta de base rectangular situada en el pla $z = 0$, amb vèrtex superior al punt $(0,0,10)$. La base és el rectangle definit per $[-10, 10] \times [-5, 5]$, amb alçada màxima de 10 unitats sobre l'origen.

b. Indiqueu de forma raonada en quins punts del domini la funció és diferenciable i en quins no ho és.

Solución: Diferenciable a l'interior de les quatre cares planes: $\{ (x,y) \in (-10,10) \times (-5,5) \mid x \neq 2y, x \neq -2y \}$. No diferenciable a les arestes ni al vèrtex.

c. Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.

Solución: no existeix

c. Justificació de $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.

Solución: Presenta un pic a l'origen amb pendents oposats per l'esquerra i per la dreta.

d. Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(4,0)$.

Solución: -1

d. Justificació de $\frac{\partial f}{\partial x}(4,0)$.

Solución: Segment rectilini des de $(0,10)$ a $(10,0)$ amb pendent $-10/10 = -1$.

e. Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(4,0)$.

Solución: 0

e. Justificació de $\frac{\partial f}{\partial y}(4,0)$.

Solución: La direcció és tangent/paral·lela a la corba de nivell $z=6$, per tant la funció es manté constant.

f. Justifiqueu i calculeu la derivada direccional $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(8,4)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (2,1)$.

Solución: $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ / $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ / -0.894

f. Justificació de la derivada direccional a l'apartat f.

Solución: La direcció del vector $\vec{v}=(2,1)$ coincideix amb l'aresta lateral que va des de l'origen fins a $(10,5)$.

g. Sobre el gràfic de les corbes de nivell, dibuixeu la direcció de pendent mínim en el punt $(4,0)$.

Solución: Vector horitzontal apuntant cap a la dreta (sentit positiu de l'eix $OX$), perpendicular a la corba de nivell cap al descens màxim (vector $\vec{w}$).

h. Quin valor pren el pendent mínim en el punt $(4,0)$?

Solución: -1