Examen de Matemáticas II UPC 2023 · Primer control - Primavera (30 de març de 2023)

Pregunta 1 [2 punts]. Trigonometria i càlcul d'àrees planes

Considereu la figura adjunta, en la qual s'indiquen les mides conegudes (amb les longituds expressades en metres):

a)

[1 punt] Determineu l'angle $\widehat{CEF}$ i les longituds dels segments $\overline{BC}$ i $\overline{CE}$.

b)

[1 punt] Calculeu la superfície de la regió ombrejada ($ACED$).

Es considera la funció escalar definida per $f(x, y) = y\sqrt{y^2 - x}$.

a. [0,75 punts] Trobeu el domini i el recorregut d'aquesta funció i feu-ne una representació gràfica del domini en el pla real.

Es considera la funció escalar definida per $f(x, y) = y\sqrt{y^2 - x}$.

b.

[0,75 punts] Determineu l'expressió de la corba de nivell de la superfície $z = f(x,y)$ que passa pel punt $(0,1)$, així com l'equació de la recta tangent a aquesta corba en el punt indicat.

c.

[0,5 punts] Escriviu l'equació de la recta normal a la superfície en el punt que correspon a $(0,1)$.

Escriviu les coordenades del punt de pas $(x_0, y_0, z_0)$ i les components d'un vector director $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ per a l'expressió contínua $\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$:

$($

,

,

$)$

$($

,

,

$)$

Es considera la funció real de dues variables definida per:

$$f(x, y) = (x^2 - y^2 - 1)(x + 1)$$

a)

[0,5 punts] Representeu esquemàticament la regió del pla $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) > 0\}$.

Es considera la funció real de dues variables definida per:

$$f(x, y) = (x^2 - y^2 - 1)(x + 1)$$

b)

[1,5 punts] Determineu els punts crítics de la funció i classifiqueu-los.

Punt crític 1 ($x$ menor):

Punt crític 2 ($x$ major):

Pregunta 4 (2 punts: 0,25 punts cada apartat). Piràmide, corbes de nivell i derivades direccionals

D'una superfície $z = f(x,y)$, que es correspon amb una piràmide de base rectangular, es disposa del mapa de corbes de nivell des del nivell 0 fins al 10 tal com s'indica a la figura adjunta. Cada corba de nivell és un rectangle de proporció 2 (és a dir, de raó base/alçada = 2), excepte el nivell 10, que es redueix a un únic punt (el vèrtex superior). La corba de nivell 0 delimita el domini de la funció.

a)

Feu un croquis aproximat d'aquesta superfície a l'espai tridimensional $\mathbb{R}^3$.

b)

Indiqueu de forma raonada en quins punts del domini la funció és diferenciable i en quins no ho és.

c)

Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.

d)

Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(4,0)$.

e)

Justifiqueu i calculeu, si existeix, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(4,0)$.

f)

Justifiqueu i calculeu la derivada direccional $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(8,4)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (2,1)$.

g)

Sobre el gràfic de les corbes de nivell, dibuixeu la direcció de pendent mínim en el punt $(4,0)$ o descriviu com és aquest vector.

h)

Quin valor pren el pendent mínim en el punt $(4,0)$?