Examen de Matemáticas II UPC 2023 · Juny

Pregunta 1 (1,50 punts). Geometria d'un arc apuntat

Observeu l'arc apuntat representat a la figura, de llum $\overline{AA'} = 2\text{ m}$ i fletxa $\overline{CH} = h$, constituït per dos arcs circulars de radi $2\text{ m}$ simètrics respecte a la recta vertical $CH$. El centre $O$ de l'arc dret ($\widehat{AH}$) es troba sobre una recta que creua el punt $A$ amb una inclinació de $30^\circ$ respecte a la línia d'imposta $AA'$.

Determineu:

a)

[0,25 punts] La longitud dels segments $\overline{OB}$ i $\overline{OD}$.

b)

[0,25 punts] El valor de la fletxa $h$.

c)

[0,50 punts] L'obertura de l'angle $\beta = \widehat{AOH}$.

d)

[0,50 punts] L'àrea delimitada entre l'arc apuntat i la línia d'imposta.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = 5 - \sqrt{x^2 + y^2}$.

a)

[0,50 punts] Determineu el domini i el recorregut de la funció.

b)

[0,50 punts] Dibuixeu, sempre que tinguin sentit geomètric, les corbes de nivell associades a $z = -10, 0, 5$ i $10$.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = 5 - \sqrt{x^2 + y^2}$.

c)

[0,50 punts] Trobeu el valor del pendent màxim en el punt $(4, -3)$.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = 5 - \sqrt{x^2 + y^2}$.

d)

[0,50 punts] Escriviu l'equació del pla tangent a la superfície d'equació $z = f(x, y)$ en el punt $(4, -3, f(4, -3))$.

Pregunta 3 (1,50 punts). Punts crítics d'una funció escalar

Calculeu i determineu la naturalesa dels punts crítics de la funció definida per:

$$f(x, y) = xy e^{x+2y}$$

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

Pregunta 4 (2,00 punts). Equació diferencial lineal de primer ordre

Es considera l'equació diferencial següent:

$$xy' = 2y + \frac{x^5}{x^2 + 1}$$

a.

[0,25 punts] Verifiqueu que es tracta d'una equació lineal escrivint-la en forma canònica $y' + P(x)y = Q(x)$. Indiqueu la funció $P(x)$ o justifiqueu-ho:

b.

[0,50 punts] Calculeu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada $y_h(x)$:

c.

[0,50 punts] Apliqueu el mètode de variació de constants per trobar una solució particular $y_p(x)$:

d.

[0,25 punts] Expresseu la solució general de l'equació completa $y(x)$:

e.

[0,50 punts] Trobeu la solució particular la corba de la qual talla la recta $y = 2x$ en el punt d'abscissa $x = 1$:

Pregunta 5 (1,50 punts). Càlcul de volum mitjançant integral doble

Considereu el sòlid situat en el primer octant ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$) que està delimitat pels cilindres $x^2 + y^2 = 4$ i $x^2 + y^2 = 9$, i tancat superiorment pel pla $z = x + y + 1$.

a.

[0,50 punts] Dibuixeu i descriviu la regió base del cos sobre el pla $xy$.

b.

[1,00 punts] Calculeu el volum d'aquest sòlid.

Pregunta 6 (1,50 punts). Corba en coordenades polars i àrea tancada

Es considera la corba tancada de Clairaut mostrada a la figura, donada en coordenades polars per:

$$r(\theta) = \cos^3(\theta)$$

a.

[0,50 punts] Indiqueu els punts que s'obtenen per als valors angulars $\theta = 0$, $\theta = \frac{\pi}{2}$ i $\theta = \pi$, expressant en cadascun d'ells les seves coordenades cartesianes $(x,y)$.

b.

[1,00 punts] Calculeu l'àrea de la regió delimitada per aquesta corba tancada.