Exercici 4 · Matemáticas II UPC 2023

Tema: Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Del examen Examen final de Matemàtiques II (Gener 2023) (2023)

Enunciado

Exercici 4 (1,5 punts). Àrea delimitada pel llaç d'una concoide

La concoide de Nicomedes és una corba clàssica utilitzada històricament per resoldre problemes de duplicació del cub o trisecció de l'angle. Considerem la concoide expressada en coordenades polars mitjançant l'equació:

r(θ)=1cos⁡θ+2r(\theta) = \frac{1}{\cos \theta} + \sqrt{2}

A continuació se'n mostra la gràfica:

a)

Raoneu que l'interval angular associat al llaç situat a l'esquerra de l'eix vertical YY és [3π4,5π4]\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]. (Pista: determineu els valors d'angle en què la trajectòria creua l'origen).

b)

Calculeu l'àrea interior tancada per aquest llaç.

Enunciado: Exercici 4 · Matemáticas II UPC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Valor de cos θ quan la corba creua l'origen

Solución: −12-\frac{1}{\sqrt{2}} / −22-\frac{\sqrt{2}}{2} / −0,707-0{,}707

a) Raoneu que l'interval angular associat al llaç situat a l'esquerra de l'eix vertical Y és [3π/4, 5π/4]

Solución: Els angles que satisfan cos⁡θ=−2/2\cos\theta = -\sqrt{2}/2 a [0,2π)[0, 2\pi) són θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} i θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4}. A l'interval [3π4,5π4]\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right], el radi pren valors negatius (r(θ)≤0r(\theta) \le 0), descrivint el bucle o llaç tancat a l'esquerra de l'eix YY.

b) Calculeu l'àrea interior tancada per aquest llaç.

Solución: 1+2ln⁡(2−12+1)+π21 + \sqrt{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right) + \frac{\pi}{2} / 0,0780{,}078

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Pregunta 4 · 2023 · Pregunta 6 · Juny 2023 ›

Más ejercicios de Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums