Exámenes de Matemáticas II UPC 2022
Los 3 exámenes de Matemáticas II de la UPC (Grado en Estudios de Arquitectura) de 2022 (Juny y Primer control d'avaluació continuada - 8 de novembre de 2022), con 23 problemas resueltos. Entran temas como Trigonometria i geometria mètrica plana. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Juny (2022)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Equacions diferencials de primer ordre · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
- Exercici 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Considerem el triangle ABC on el punt B' divideix el costat a en a1 i a2. Donades a2 = 2.5 m, c' = AB' = 2 m, C = 30º i A2 = 45º, determineu: a) angles A i B; b) longituds dels tres costats a, b i c;… - Exercici 2 - Quàdrica i pla tangent · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Exercici 2 (apartats a i e): Classificació d'una superfície quàdrica, descripció de les interseccions amb els plans coordenats i determinació del punt sobre la gràfica de la funció on el pla tangent… - Exercici 2 - Domini i corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Exercici 2 (apartats b i c): Determinació del domini, recorregut i esbós del domini de $f(x,y)$, i estudi de les corbes de nivell per a $k = 0, 3, 5\text{ i }7$. - Exercici 2 - Direcció de màxim creixement · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Exercici 2 (apartat d): Identificació de la corba de nivell a la qual pertany el punt P = (12/5, 0) i traçat del vector que assenyala la direcció de màxim creixement (vector gradient). - Exercici 3 · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange
Fent ús del mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu les dimensions del rectangle de màxima àrea que es pot inscriure dins l'el·lipse d'equació x^2/9 + y^2 = 1. - Exercici 4 · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums
Mitjançant una integral simple en cada cas, calculeu: a) L'àrea de la regió delimitada per l'el·lipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. b) El volum d'una esfera de radi r. - Exercici 5 · Equacions diferencials de primer ordre
Es considera l'equació diferencial y' + tan(x)y = sin(x)cos(x). Es demana: a) Classificar el tipus d'equació diferencial i el seu ordre; b) Trobar la solució general de l'equació homogènia associada;… - Exercici 6 · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
Donada la integral doble $\int_0^4 \int_{\sqrt{x}}^2 \frac{1}{\sqrt{x + y^2}}\,dy\,dx$, descriviu geomètricament i dibuixeu la regió d'integració $D$ i calculeu el seu valor efectuant un canvi en…
Juny (2022)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · Equacions diferencials de primer ordre · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
- Pregunta 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Es consideren dos sectors circulars que comparteixen el punt B: el sector AOB amb centre O, radi r = 1 m i angle 45°, i el sector A'O'B de centre O', radi r' i angle alpha'. Sabent que la separació… - Pregunta 2 - Quàdriques i pla tangent · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Pregunta 2: Classificar la quàdrica z^2 = 25 - x^2 + y^2 i trobar les còniques amb els plans coordenats. Trobar la recta tangent a la corba de nivell en (5,-5) i el pla tangent al graf de f en… - Pregunta 2 - Domini, recorregut i corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Pregunta 2: Trobar el domini i recorregut de f(x,y) = sqrt(25 - x^2 + y^2). Escriure les equacions de les corbes de nivell per a k=3, 5, 7 i fer un esbós gràfic indicant la corba que passa per (5,-5)… - Pregunta 2 - Derivades parcials i direccionals · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Pregunta 2: Calcular les derivades parcials de f(x,y) = sqrt(25 - x^2 + y^2) i la derivada direccional en el punt (5,-5) segons la direcció del vector v = (1,1). - Pregunta 3 · Extrems lliures: punts crítics i matriu hessiana
Sigui la funció de dues variables f(x,y) = x y e^(x+2y). a. Localitzeu tots els punts crítics de la funció. b. Determineu la naturalesa de cadascun d'aquests punts crítics (extrems relatius o punts… - Pregunta 4 · Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums
Justifiqueu mitjançant una integral simple les fórmules geomètriques: a) Longitud de la circumferència de radi r = 2πr; b) Volum d'un con recte de revolució d'alçada h i radi r = (π/3) h r². - Pregunta 5 · Equacions diferencials de primer ordre
Pregunta 5: Resolució de l'equació diferencial lineal de primer ordre y' + 2xy = x e^(-2x^2). Es demana la solució general de l'equació homogènia, una solució particular mitjançant variació de les… - Pregunta 6 · Integrals dobles: dominis, canvi d'ordre i canvi de variable
Calculeu la integral doble de sin(x + 2y)cos(x - 2y) sobre el domini pla situat en el primer quadrant limitat per la recta x + 2y = 2π i els eixos de coordenades cartesianes.
Primer control d'avaluació continuada - 8 de novembre de 2022 (2022)
Temas del examen: Trigonometria i geometria mètrica plana · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange
- Exercici 1 · Trigonometria i geometria mètrica plana
Exercici 1: Trapezi rectangle i semicercle. A partir d'un trapezi rectangle amb costats donats (AB=6, AC=3, CD=4) i un semicercle de diàmetre BD, calcular l'angle alpha = BCD, la longitud del segment… - Exercici 2 - Corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Realitzeu un esquema gràfic de les corbes de nivell corresponents als valors k = 0, k = 1 i k = 2 per a f(x,y) = |xy|. - Exercici 2 - Diferenciabilitat i derivades · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Exercici 2 (apartats a, c i d): Estudiar la diferenciabilitat de f(x,y)=|xy|, calcular les derivades parcials i direccionals indicades i trobar les direccions de creixement màxim, mínim i nul al punt… - Exercici 3 - Domini, recorregut i corbes de nivell · Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat
Indiqueu el domini i el recorregut de la funció f(x,y) = 1 + sin(x^2 + y^2) i representeu de forma esquemàtica les corbes de nivell corresponents a k = -1, k = 0 i k = 1. - Exercici 3 - Direcció de màxim creixement · Derivades parcials, gradient i derivades direccionals
Determineu la direcció de màxim creixement de f(x,y) = 1 + sin(x^2 + y^2) en el punt (2,1), així com el valor de la derivada direccional en aquesta direcció. - Exercici 3 - Pla tangent i recta normal · Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques
Exercici 3, apartat d: Escriure les equacions del pla tangent i de la recta normal a la gràfica de f(x,y) = 1 + sin(x^2 + y^2) en el punt (2,1). - Exercici 4 · Extrems condicionats: multiplicadors de Lagrange
Exercici 4 (2 punts). Es desitja trobar el punt de la corba plana definida per l'equació y^2 = x^3 - x + 6 que es troba a distància mínima de l'origen de coordenades. a) Formuleu com extrems…
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Trigonometria i geometria mètrica plana · 9 problemas · 90 % de que salga
- Pla tangent, recta normal i superfícies quàdriques · 9 problemas · 90 % de que salga
- Funcions de diverses variables: domini, recorregut, corbes de nivell i continuïtat · 11 problemas · 80 % de que salga
- Derivades parcials, gradient i derivades direccionals · 9 problemas · 80 % de que salga
- Aplicacions de la integral simple: àrees, polars, longituds i volums · 6 problemas · 70 % de que salga
- Equacions diferencials de primer ordre · 6 problemas · 70 % de que salga