Examen de Matemáticas II UPC 2023 · Primer control de Matemàtiques II (30 de març de 2023)

Exercici 1 (2 punts). Geometria de triangles i àrees

En una parcel·la plana amb forma de triangle $ABC$, la presència d'un obstacle impedeix mesurar de manera directa la distància que separa els vèrtexs $A$ i $B$. Es disposa de les mesures indicades a l'esquema (expressades en metres):

A partir d'aquestes dades, determineu:

a.

[0,5 punts] La distància que separa els vèrtexs $A$ i $B$.

b.

[0,5 punts] La superfície total del terreny $ABC$.

c.

[0,5 punts] L'àrea que correspon al quadrilàter $ABED$.

d.

[0,5 punts] La llargada que ha de tenir una tanca $D'E'$, traçada paral·lelament a $DE$, per tal de partir el terreny $ABC$ en dues meitats d'igual superfície.

Es considera el camp escalar definit per $f(x, y) = x^2 \sqrt{x - y}$.

[0,75 punts] a. Trobeu el seu domini de definició, feu-ne una representació gràfica i determineu-ne el recorregut.

Es considera el camp escalar definit per $f(x, y) = x^2 \sqrt{x - y}$.

[0,75 punts] b. Verifiqueu que la corba de nivell $c = 1$ conté el punt $(1,0)$. Escriviu l'equació implícita d'aquesta corba i trobeu la recta tangent a ella en aquest mateix punt.

[0,5 punts] c. Determineu l'equació contínua de la recta normal a la superfície gràfica de $f$ en el punt corresponent a $(1,0)$.

Es considera la funció escalar definida per $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - 1)$.

[0,5 punts] a. Representeu gràficament la regió del pla $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) > 0\}$.

Es considera la funció escalar definida per $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - 1)$.

b) [1,5 punts] Trobeu tots els punts crítics de la funció i determineu-ne la seva naturalesa (classifiqueu-los).

•

$($

$,$

$)$

•

$($

$,$

$)$

Exercici 4 (2 punts). Piràmide, corbes de nivell i derivades direccionals

Es considera una superfície $z = f(x,y)$ corresponent a una piràmide rectilínia de base rectangular, de la qual es mostren les corbes de nivell per als valors enters del 0 al 10. Cada corba de nivell és un rectangle amb relació d'aspecte (proporció) 2, llevat de la cota 10, que es redueix al vèrtex superior (un punt a l'origen). La corba de cota 0 tanca i delimita el domini de la funció.

Resoleu cadascun dels apartats següents [0,25 punts cadascun]:

a.

Feu un esquema tridimensional aproximat d'aquesta superfície a l'espai $\mathbb{R}^3$.

b.

Determineu de manera precisa en quins punts del domini la funció $f$ és diferenciable i en quins punts no ho és.

c.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.

d.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}(4,0)$.

e.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}(4,0)$.

f.

Justifiqueu i calculeu, si és possible, la derivada direccional $\frac{\partial f}{\partial \vec{v}}(4,8)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (1,2)$.

g.

Sobre el pla de les corbes de nivell, indiqueu la direcció de màxim pendent en el punt $(4,0)$.

h.

Quin valor pren el pendent màxim en aquest mateix punt $(4,0)$?