Exámenes de Matematiques Iii UPF 2014
Los 3 exámenes de Matematiques Iii de la UPF (Grado en Administración y Dirección de Empresas) de 2014 (Examen de recuperació 2014-15, Examen de recuperació abril 2014 y Examen final març 2014), con 28 problemas resueltos. Entran temas como Domini de funcions de dues variables i representació gràfica y Rectes i plans a l'espai. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Examen de recuperació 2014-15 (2014)
Temas del examen: Domini de funcions de dues variables i representació gràfica · Rectes i plans a l'espai · Pla tangent i aproximació lineal · Gradient i derivades direccionals · Regla de la cadena i derivació implícita · Formes quadràtiques, concavitat i convexitat · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació · Extrems globals en conjunts tancats i fitats · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat · Programació lineal i dualitat
- Pregunta 1 · Rectes i plans a l'espai
Trobeu l'equació del pla perpendicular a la recta definida per 2x + 3y + z = 7 i -x - 2y - z = 10, i que passa pel punt (1, 1, 1). Indiqueu un punt qualsevol d'aquest pla diferent del punt donat. - Pregunta 2 · Pla tangent i aproximació lineal
Donada f(x, y) = xy - 2x^2 + (1/2)y^2 + 4, determineu el valor del paràmetre k perquè el pla 10x + z + k = 0 sigui tangent a la gràfica de f(x, y) i trobeu el punt de tangència. - Pregunta 3 · Formes quadràtiques, concavitat i convexitat
Donada la forma quadràtica Q(x, y) = (5 - 4k)x^2 + 6kxy + (5 + 4k)y^2, classifiqueu-la en funció dels valors del paràmetre real k pertanyent a R. - Pregunta 4.a - Recta tangent a corba de nivell · Regla de la cadena i derivació implícita
Calcular i representar la recta tangent a la corba de nivell -1 de f(x, y) = x ln(y) - y e^(xy) en el punt on x = 0. - Pregunta 4.b - Derivades direccionals · Gradient i derivades direccionals
Trobar el valor màxim de les derivades direccionals de f(x, y) en el punt (0, 1) i interpretar geomètricament aquest resultat sobre la representació de la corba de nivell. - Pregunta 5 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Donada la funció f(x, y) = x^3(x + y)^2 + 1, trobeu tots els seus punts estacionaris i classifiqueu-los raonadament analitzant el signe de la diferència f(x, y) - 1. - Pregunta 6.a - Domini · Domini de funcions de dues variables i representació gràfica
Donada f(x, y) = ln(1 + 2x + 3y), determineu i representeu gràficament el seu domini. - Pregunta 6.b - Concavitat i convexitat · Formes quadràtiques, concavitat i convexitat
Indiqueu raonadament en quines regions del domini la funció f(x, y) = ln(1 + 2x + 3y) és còncava o convexa, i representeu-les. - Pregunta 7 · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat
Problema d'optimització amb restricció d'igualtat: donada f(x, y) = e^(x^2+y^2) subjecta a x - y = 2, trobar els punts estacionaris amb multiplicadors de Lagrange, dibuixar les corbes de nivell i la… - Pregunta 8 · Extrems globals en conjunts tancats i fitats
Donada la funció f(x, y) = x^2 + 10y sobre el domini compacte S = {(x, y) in R^2 : x^2 + y^2 <= 100, y >= 0, x - y >= 0}, representeu gràficament la regió S i determineu els seus màxims i mínims… - Pregunta 9 · Programació lineal i dualitat
Problema de programació lineal primal i dual. Es demana resoldre el problema primal calculant el vèrtex òptim i el valor màxim B, formular i resoldre el problema dual associat trobant els valors de…
Examen de recuperació abril 2014 (2014)
Temas del examen: Pla tangent i aproximació lineal · Gradient i derivades direccionals · Regla de la cadena i derivació implícita · Funcions homogènies i teorema d'Euler · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació · Extrems globals en conjunts tancats i fitats · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat · Programació lineal i dualitat
- Pregunta 1 · Regla de la cadena i derivació implícita
Pregunta 1 (10 punts): Donada la funció z = 1/3 ln(x^2 y) amb x = e^(3t) i y = 1 + e^(-3t), calcular dz/dt aplicant la regla de la cadena i avaluar-la en t = 0. - Pregunta 2 · Pla tangent i aproximació lineal
Pregunta 2 (10 punts): Determinar el valor de k perquè el pla 7x + z - 3 = 0 sigui tangent a z = xy - 3x^2 + 1/2 y^2 + k i trobar el punt de tangència. - Pregunta 3 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Pregunta 3 (10 punts): Donada la funció f(x,y) = (x^7 + x y^b)/sqrt(x^a y^5), trobar a i b sabent que x f'_x + y f'_y = 2f, i determinar el grau d'homogeneïtat k si f és homogènia i a = 0. - Pregunta 4 · Gradient i derivades direccionals
Donada la funció z = f(x, y) = e^(x/y), considereu el punt de la corba de nivell z = e que té abscissa x = e. Trobeu quines són les direccions unitàries en què la derivada direccional és igual a 1. - Pregunta 5 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Considerem un monopolista que produeix i ven dos béns, 1 i 2, les corbes de demanda dels quals vénen donades per q1 = 12 - p1 i q2 = (28 - p2)/3, i que afronta una funció de costos C(q1, q2) =… - Pregunta 6.a - Optimització lliure · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Per a la funció f(x, y) = 3x² - 8xy + 5, localitzar tots els punts estacionaris lliures i classificar-los. - Pregunta 6.b - Extrems globals · Extrems globals en conjunts tancats i fitats
Trobeu els extrems globals de f(x, y) = 3x² - 8xy + 5 sobre el domini compacte D definit per 0 <= x <= 9, 0 <= y <= sqrt(x). - Pregunta 7 · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat
Pregunta 7. Considerem la funció f(x, y) = x^2/9 + y^2/36 subjecta a la restricció d'igualtat xy = 8. a) Trobeu els punts estacionaris condicionats i els respectius valors de f utilitzant… - Pregunta 8 · Programació lineal i dualitat
Suposem el següent problema dual de programació lineal: maximitzar D = 7u_1 - 3u_2 subjecte a u_1 <= 1, u_1 - u_2 >= -2, u_1 + u_2 >= 2, u_1, u_2 >= 0. a) Formuleu el problema primal. b) Resoleu…
Examen final març 2014 (2014)
Temas del examen: Rectes i plans a l'espai · Gradient i derivades direccionals · Funcions homogènies i teorema d'Euler · Formes quadràtiques, concavitat i convexitat · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació · Extrems globals en conjunts tancats i fitats · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat · Programació lineal i dualitat
- Problema 1 · Rectes i plans a l'espai
Problema de geometria afí i euclidiana a R³ amb un pla i rectes: comprovació de pertinença de P al pla, equació d'una recta perpendicular que passa per P i determinació d'un paràmetre k per a… - Problema 2 · Formes quadràtiques, concavitat i convexitat
Problema 2 (10 punts). Es considera la forma quadràtica f(x, y) = x^2 - xy + (1/4)y^2. a. Classifiqueu-la de manera raonada. b. Determineu una equació lineal del tipus px + qy = 0 que defineixi un… - Problema 3 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Problema 3. Funció f(x, y) = (root3((xy)^a) / (x^2 + y^2)) * (1/x + 1/y). a) Provar homogeneïtat i calcular el grau k en funció de a. b) Per a a = 0, calcular el valor de -2x f'_x - 2y f'_y. - Problema 4 · Gradient i derivades direccionals
Problema 4 (10 punts): Donada f(x, y) = y - y*sqrt(x), trobar el vector unitari de màxim creixement al punt de la corba de nivell -2 amb x=4, i la derivada direccional en la direcció tangent a la… - Problema 5 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Problema 5 (20 punts): Donada f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3, trobar i classificar els punts estacionaris, determinar el domini més ampli on és còncava o convexa, i determinar els extrems globals… - Problema 6 · Extrems globals en conjunts tancats i fitats
Es considera la funció f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y. a. Determineu els seus extrems globals a tot l'espai R^2. b. Trobeu els extrems globals de la funció en el domini compacte definit per D = {(x,y) ∈… - Problema 7 · Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat
Problema 7: Considerar els rectangles amb diagonal de longitud l > 0. Determinar quin o quins presenten àrea màxima. Formular el problema d'optimització, resoldre'l mitjançant multiplicadors de… - Problema 8 · Programació lineal i dualitat
Problema de programació lineal en 3 variables amb dues restriccions. Demana: a) Formular i resoldre el problema dual associat; b) Determinar la solució òptima del primal mitjançant el teorema…
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Extrems globals en conjunts tancats i fitats · 9 problemas · 90 % de que salga
- Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat · 9 problemas · 90 % de que salga
- Programació lineal i dualitat · 8 problemas · 90 % de que salga
- Pla tangent i aproximació lineal · 8 problemas · 85 % de que salga
- Gradient i derivades direccionals · 7 problemas · 85 % de que salga
- Regla de la cadena i derivació implícita · 7 problemas · 85 % de que salga