Pregunta 7 · Matematiques Iii UPF 2014

Tema: Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat · Del examen Examen de recuperació abril 2014 (2014)

Enunciado

Pregunta 7 (20 punts). Optimització amb restricció de Lagrange

Considerem la funció $f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36}$ subjecta a la restricció d'igualtat $xy = 8$ .

[10 punts] Trobeu els punts estacionaris condicionats i els respectius valors que pren la funció objectiu utilitzant el mètode dels multiplicadors de Lagrange (no cal classificar-los).

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

[5 punts] Suposeu que el valor constant de la restricció $xy = 8$ es modifica lleugerament i, com a resultat, el valor òptim $f^*$ passa de $\frac{8}{9}$ a $\frac{7}{9}$ . Quina és la nova equació de la restricció?

[5 punts] A la figura adjunta es representen les corbes de nivell $z = 1/4$ , $z = 1$ i $z = 4$ de la funció $f(x, y)$ .

Dibuixeu-hi la restricció $xy = 8$ i justifiqueu geomètricament si els punts estacionaris trobats a l'apartat (a) són extrems locals o globals.

Enunciado: Pregunta 7 · Matematiques Iii UPF 2014

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Primer punt estacionari $(x_1, y_1)$ amb $x_1 > 0$ — Coordenada x

Solución: $2$

a) Primer punt estacionari $(x_1, y_1)$ amb $x_1 > 0$ — Coordenada y

Solución: $4$

a) Segon punt estacionari $(x_2, y_2)$ amb $x_2 < 0$ — Coordenada x

Solución: $-2$

a) Segon punt estacionari $(x_2, y_2)$ amb $x_2 < 0$ — Coordenada y

Solución: $-4$

a) Valor que pren la funció objectiu f en aquests punts estacionaris

Solución: $8/9$

b) Quina és la nova equació de la restricció?

Solución: $xy = 7$

c) Justifiqueu geomètricament si els punts estacionaris trobats a l'apartat (a) són extrems locals o globals.

Solución: Els dos punts estacionaris $(2, 4)$ i $(-2, -4)$ són mínims globals condicionats, i no existeix cap màxim global.

Dibuixeu-hi la restricció $xy = 8$ i justifiqueu geomètricament si els punts estacionaris trobats a l'apartat (a) són extrems locals o globals.

Solución: Dibuix de la hipèrbola $y = 8/x$ tangent exteriorment a l'el·lipse de nivell $z = 8/9$ en els punts $(2,4)$ i $(-2,-4)$ .

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Pregunta 7 · 2014 · Problema 7 · 2014 ›

Pregunta 7 · Matematiques Iii UPF 2014

Enunciado

Solución

Más ejercicios de Multiplicadors de Lagrange i anàlisi de sensibilitat