Pregunta 7 · Matematiques Iii UPF 2014

a. Trobeu els punts estacionaris del problema: coordenada x

Solución: $1$

a. Trobeu els punts estacionaris del problema: coordenada y

Solución: $-1$

a. Trobeu els punts estacionaris del problema: multiplicador λ

Solución: $2e^2$

b. Dibuixeu la restricció conjuntament amb les corbes de nivell e^2 i e^4 de la funció f(x, y)

Solución: Dibuix al pla cartesià de dues circumferències centrades a l'origen de radis $r_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ (corba de nivell $e^2$) i $r_2 = 2$ (corba de nivell $e^4$), juntament amb la recta de restricció $y = x - 2$, que passa pels punts $(2, 0)$ i $(0, -2)$ i és tangent a la circumferència de radi $\sqrt{2}$ exactament en el punt $(1, -1)$.

c. Classifiqueu els punts estacionaris de l'apartat anterior mitjançant el mètode gràfic

Solución: Mínim global condicionat / Mínim absolut condicionat

d. Classifiqueu els punts estacionaris fent ús de la matriu Hessiana orlada: determinant det(H_B)

Solución: $-4e^2$

d. Classifiqueu els punts estacionaris fent ús de la matriu Hessiana orlada i indiqueu de manera precisa quina informació proporciona el criteri

Solución: Mínim local condicionat: el criteri de segon ordre amb Hessiana orlada garanteix que el punt és un mínim local.