Problema 3 · Matematiques Iii UPF 2014

Problema 3 (10 punts). Funció homogènia i teorema d'Euler

Sigui la funció definida com a $f(x, y) = \frac{\sqrt[3]{(xy)^a}}{x^2 + y^2}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$, on $a \in \mathbb{R}$.

a.

Proveu que $f$ és una funció homogènia i calculeu el seu grau d'homogeneïtat $k$ en funció de $a$.

b.

En el cas particular $a = 0$, calculeu el valor de l'expressió $-2x f'_x - 2y f'_y$ en funció de $f(x, y)$.

$f(x, y)$