Problema 7 · Matematiques Iii UPF 2014

Funció objectiu a maximitzar f(x, y)

Solución: $xy$

Restricció d'igualtat en funció de la diagonal l

Solución: $x^2 + y^2 = l^2$

Valor òptim del multiplicador de Lagrange λ

Solución: 1/2

Longitud dels costats del rectangle d'àrea màxima (x o y)

Solución: $l/\sqrt{2}$ / $\frac{\sqrt{2}}{2}l$

Àrea màxima del rectangle

Solución: $l^2/2$

Justificació del caràcter global de l'òptim

Solución: Argument analític: per a $\lambda = 1/2$, la matriu Hessiana de $L(x, y, 1/2)$ és semidefinida negativa per a tot $(x,y)$, per la qual cosa $L$ és còncava i el punt és un màxim global. / Argument geomètric: tangència entre la circumferència de radi $l$ i la família d'hipèrboles $xy = k$ al punt de simetria $y = x$.