Examen de Matematiques Iii UPF 2014 · recuperació abril 2014

Pregunta 1 (10 punts). Regla de la cadena

Es considera la funció $z = \frac{1}{3} \ln(x^2 y)$, on les variables depenen del paràmetre $t$ mitjançant les relacions $x = e^{3t}$ i $y = 1 + e^{-3t}$.

a)

[7 punts] Calculeu la derivada $\frac{dz}{dt}$ en funció exclusiva de la variable $t$ aplicant la regla de la cadena. Simplifiqueu el resultat obtingut tant com sigui possible.

b)

[3 punts] Determineu el valor numèric que pren $\frac{dz}{dt}$ quan s'avalua a $t = 0$.

Pregunta 2 (10 punts). Pla tangent a una superfície

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = xy - 3x^2 + \frac{1}{2}y^2 + k$. Es demana determinar el valor del paràmetre real $k$ pel qual el pla d'equació $7x + z - 3 = 0$ resulta tangent a la gràfica de $z = f(x, y)$. Indiqueu a més quin és el corresponent punt de tangència.

a)

Punt de tangència $(x_0, y_0)$:

b)

Valor del paràmetre $k$:

Pregunta 3 (10 punts). Funcions homogènies i Teorema d'Euler

Es considera la funció definida com $f(x, y) = \frac{x^7 + xy^b}{\sqrt{x^a y^5}}$, amb $a, b \in \mathbb{R}$.

a)

[7 punts] Sabent que es verifica la relació $x f'_x + y f'_y = 2 f$, determineu els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

b)

[3 punts] Si se sap que $f(x, y)$ és una funció homogènia i que $a = 0$, quin grau d'homogeneïtat $k$ té la funció?

Pregunta 4 (10 punts). Derivada direccional

Donada la funció $z = f(x, y) = e^{x/y}$, considereu el punt de la seva corba de nivell $z = e$ que té abscissa $x = e$. Trobeu quines són les direccions (expressades com a vectors unitaris) en què la derivada direccional de la funció en aquest punt és igual a 1.

Primer vector unitari $\vec{u}$:

Segon vector unitari $\vec{v}$:

Pregunta 5 (10 punts). Optimització del benefici d'un monopolista

Considerem un monopolista que produeix i ven dos béns, 1 i 2, les corbes de demanda dels quals vénen donades per $q_1 = 12 - p_1$ i $q_2 = \frac{28 - p_2}{3}$, i que afronta una funció de costos $C(q_1, q_2) = 2q_1 q_2 + 15$. Determineu les quantitats a produir que maximitzen el benefici de l'empresa. Justifiqueu si la solució oposada correspon a un màxim d'abast global o només local.

Es considera la funció $f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5$.

Pregunta 6.a (5 punts). Punts estacionaris lliures

Localitzeu tots els punts estacionaris de la funció i classifiqueu-los.

($$, $$)

Es considera la funció $f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5$.

Pregunta 6.b (10 punts). Extrems sobre domini compacte

Trobeu els extrems globals de la funció sobre el domini compacte $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 9,\; 0 \le y \le \sqrt{x}\}$.

($$, $$)

($$, $$)

Pregunta 7 (20 punts). Optimització amb restricció de Lagrange

Considerem la funció $f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36}$ subjecta a la restricció d'igualtat $xy = 8$.

a)

[10 punts] Trobeu els punts estacionaris condicionats i els respectius valors que pren la funció objectiu utilitzant el mètode dels multiplicadors de Lagrange (no cal classificar-los).

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

b)

[5 punts] Suposeu que el valor constant de la restricció $xy = 8$ es modifica lleugerament i, com a resultat, el valor òptim $f^*$ passa de $\frac{8}{9}$ a $\frac{7}{9}$. Quina és la nova equació de la restricció?

c)

[5 punts] A la figura adjunta es representen les corbes de nivell $z = 1/4$, $z = 1$ i $z = 4$ de la funció $f(x, y)$.

Dibuixeu-hi la restricció $xy = 8$ i justifiqueu geomètricament si els punts estacionaris trobats a l'apartat (a) són extrems locals o globals.

Pregunta 8 (15 punts). Programació lineal i dualitat

Suposem el següent problema dual de programació lineal:

$\begin{array}{lrc}

\text{maximitzar} & D = 7u_1 - 3u_2 & \\

\text{subjecte a} & u_1 \le 1 & \\

& u_1 - u_2 \ge -2 & \\

& u_1 + u_2 \ge 2 & \\

& u_1, u_2 \ge 0 &

\end{array}$

a.

[5 punts] Formuleu el corresponent problema primal (amb variables $x, y, z \ge 0$).

b.

[5 punts] Resoleu gràficament o analíticament el problema dual indicant el punt òptim $(u_1^*, u_2^*)$ i el seu valor màxim $D^*$.

$u_1^* =$

$u_2^* =$

c.

[5 punts] Utilitzant les condicions d'holgura complementària i la solució del dual, determineu la solució òptima del problema primal $(x^*, y^*, z^*)$ i comproveu la relació amb el valor òptim.

$x^* =$

$y^* =$

$z^* =$