Examen de Matematiques Iii UPF 2014 · final març 2014

Problema 1 (10 punts). Geometria afí i euclidiana

Sigui el pla definit per l'equació $\pi: 2x + 3z - 1 = 3 - y$.

a.

Determineu de forma raonada si el punt $P = (1, 0, 3)$ forma part del pla $\pi$.

No

Sí

b.

Calculeu una equació vectorial de la recta $r$ que passa per $P$ i és perpendicular a $\pi$.

$($

$,$

$,$

$)$

c.

Trobeu per a quin valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ la recta $s$ és ortogonal a $r$, on $s$ ve donada per:

$$s: \begin{cases} kx + 2y = 2 - 6z \\ y + 2z + 4 = x + 7 \end{cases}$$

$k =$

Problema 2 (10 punts). Forma quadràtica

Es considera la forma quadràtica $f(x, y) = x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$.

a.

Classifiqueu-la de manera raonada.

b.

Determineu una equació lineal del tipus $px + qy = 0$ que defineixi un subespai sota el qual la forma quadràtica s'anul·la per a qualsevol valor de $x$.

Problema 3 (10 punts). Funció homogènia i teorema d'Euler

Sigui la funció definida com a $f(x, y) = \frac{\sqrt[3]{(xy)^a}}{x^2 + y^2}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$, on $a \in \mathbb{R}$.

a.

Proveu que $f$ és una funció homogènia i calculeu el seu grau d'homogeneïtat $k$ en funció de $a$.

b.

En el cas particular $a = 0$, calculeu el valor de l'expressió $-2x f'_x - 2y f'_y$ en funció de $f(x, y)$.

$f(x, y)$

Problema 4 (10 punts). Gradient i derivada direccional

Considereu la funció $f(x, y) = y - y\sqrt{x}$.

a.

Per al punt de la corba de nivell de cota -2 que compleix $x = 4$, indiqueu raonadament quin és el vector unitari que assenyala la direcció de màxim creixement de la funció.

b.

En el mateix punt, trobeu la derivada direccional de $f$ en la direcció d'un vector director de la recta tangent a la dita corba de nivell.

Problema 5 (20 punts). Punts estacionaris i convexitat

Sigui la funció $f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3$.

a.

Localitzeu els punts estacionaris de la funció i classifiqueu-los localment.

b.

Indiqueu el domini més ampli sobre el qual la funció resulta còncava o convexa.

Convexa

Còncava

c.

Dins del domini obtingut a l'apartat anterior, justifiqueu si la funció presenta màxims o mínims globals i quins són.

Problema 6 (15 punts). Òptims globals en R2 i en recinte compacte

Es considera la funció $f(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y$.

a.

Determineu els seus extrems globals a tot l'espai $\mathbb{R}^2$.

b.

Trobeu els extrems globals de la funció en el domini compacte definit per $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2, y \le 4\}$.

Problema 7 (10 punts). Optimització amb multiplicadors de Lagrange

Considereu tots els rectangles que tenen una diagonal de longitud $l > 0$. Es vol determinar quin o quins d'aquests rectangles presenten una àrea màxima.

Formuleu el problema d'optimització, resoleu-lo mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange i argumenteu si els òptims obtinguts són globals.

Problema 8 (15 punts). Programació lineal i dualitat

Es considera el següent problema de programació lineal:

$\begin{aligned}

\max \quad & z = 2x_1 + 3x_2 + x_3 \\

\text{subjecte a} \quad & x_1 + 2x_2 + x_3 \le 5 \\

& -2x_1 + 3x_3 \ge x_2 - 7 \\

& x_1, x_2, x_3 \ge 0

\end{aligned}$

a)

Formuleu i resoleu el problema dual associat.

$u_1^* =$

$u_2^* =$

$D^* =$

b)

A partir de la solució del dual, determineu la solució òptima del problema primal aplicant el teorema d'holgura complementària.

$x_1^* =$

$x_2^* =$

$x_3^* =$

c)

Quin és el valor màxim de la funció objectiu primal? Quins són els preus ombra? Utilitzant aquests preus, estimeu el nou valor màxim si les restriccions passen a ser:

$\begin{cases}

x_1 + 2x_2 + x_3 \le 4.8 \\

-2x_1 + 3x_3 \ge x_2 - 7.1 \\

x_1, x_2, x_3 \ge 0

\end{cases}$

Valor màxim primal $z^* =$

Preus ombra: $y_1 =$

$y_2 =$

Nou valor màxim estimat $z_{\text{nou}}^* \approx$