Examen de Matematiques Iii UPF 2014 · recuperació 2014-15

Pregunta 1 (10 punts). Pla perpendicular a una recta

Trobeu l'equació del pla que és perpendicular a la recta definida per les equacions:

$$\begin{cases} 2x + 3y + z = 7 \\ -x - 2y - z = 10 \end{cases}$$

i que passa pel punt $(1, 1, 1)$. Posteriorment, indiqueu un punt qualsevol d'aquest pla diferent del punt donat.

$x =$

$y =$

$z =$

Pregunta 2 (10 punts). Pla tangent a una superfície

Considereu la funció de dues variables $f(x, y) = xy - 2x^2 + \frac{1}{2}y^2 + 4$. Determineu per a quin valor del paràmetre $k$ el pla d'equació $10x + z + k = 0$ resulta tangent a la gràfica de $f(x, y)$. Quin és el punt de tangència corresponent?

$x =$

$y =$

$z =$

Pregunta 3 (10 punts). Classificació de forma quadràtica segons un paràmetre

Donada la forma quadràtica $Q(x, y) = (5 - 4k)x^2 + 6kxy + (5 + 4k)y^2$, classifiqueu-la en funció dels valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$.

Es considera la funció $f(x, y) = x \ln(y) - y e^{xy}$ amb $y > 0$.

a. Calculeu i representeu la recta tangent a la corba de nivell -1 de la funció $f(x, y)$ en el punt en què $x = 0$. Detalleu tots els càlculs i fórmules emprades.

1.

2.

3.

4.

Es considera la funció $f(x, y) = x \ln(y) - y e^{xy}$ amb $y > 0$.

b. Trobeu el valor màxim de les derivades direccionals de $f(x, y)$ en el punt $(0, 1)$ i interpreteu geomètricament aquest resultat sobre la representació de l'apartat anterior.

1.

2.

3.

Pregunta 5 (10 punts). Punts estacionaris i la seva classificació

Donada la funció $f(x, y) = x^3(x + y)^2 + 1$:

a.

Trobeu tots els seus punts estacionaris.

b.

Tenint en compte que les condicions de segon ordre no permeten classificar aquests punts estacionaris, determineu de manera raonada mitjançant un altre mètode si es tracta de màxims locals, mínims locals o punts de sella.

Pregunta 6.a - Domini

Sigui la funció $f(x, y) = \ln(1 + 2x + 3y)$.

a.

Determineu i representeu gràficament el seu domini.

Sigui la funció $f(x, y) = \ln(1 + 2x + 3y)$.

b.

Indiqueu raonadament en quines regions del domini la funció $f(x, y)$ és còncava o convexa, i representeu-les.

Pregunta 7 (15 punts). Optimització amb restricció d'igualtat mitjançant multiplicadors de Lagrange

Considereu la funció $f(x, y) = e^{x^2+y^2}$ subjecta a la restricció $x - y = 2$.

a.

Trobeu els punts estacionaris del problema mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

$x =$

$y =$

$\lambda =$

b.

Dibuixeu la restricció conjuntament amb les corbes de nivell $e^2$ i $e^4$ de la funció $f(x, y)$.

c.

Classifiqueu els punts estacionaris de l'apartat anterior mitjançant el mètode gràfic.

d.

Classifiqueu els punts estacionaris fent ús de la matriu Hessiana orlada i indiqueu de manera precisa quina informació proporciona el criteri.

Pregunta 8 (10 punts). Optimització sobre un domini compacte

Donada la funció $f(x, y) = x^2 + 10y$ definida sobre el domini compacte:

$$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 100,\ y \geq 0,\ x - y \geq 0\}$$

Representeu gràficament la regió $S$ i determineu els seus màxims i mínims globals.

a)

Representació gràfica de la regió $S$:

b)

(

,

)

c)

(

,

)

Pregunta 9 (10 punts). Problema de programació lineal primal i dual

Considereu el següent problema de programació lineal (primal):

$\begin{aligned}

\max B &= x + y \\

\text{subjecte a: } & x \le 4 \\

& y \le 3 \\

& 2x + 3y \le 11 \\

& x, y \ge 0

\end{aligned}$

a)

Resoleu tant el problema primal com el seu dual associat.

$x =$

, $y =$

, $B =$

$u_1 =$

, $u_2 =$

, $u_3 =$

, $W =$

b)

Determineu el valor màxim del problema següent, sabent que els valors òptims de les seves variables duals coincideixen amb els del problema anterior:

$\begin{aligned}

\max B &= x + y \\

\text{subjecte a: } & x \le 3{,}99 \\

& y \le 3{,}01 \\

& 2x + 3y \le 11{,}05 \\

& x, y \ge 0

\end{aligned}$

$B_{\text{nou}} =$