Abitur NRW Mathematik 2018 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^x + \frac{1}{2}x$.

a

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ und der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{2}x - 1$ keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^x + \frac{1}{2}x$.

b

Für eine positive reelle Zahl $c$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g_c$ mit $g_c(x) = \frac{1}{2}x - c$ betrachtet. Die Abbildung zeigt die Graphen von $f$ und $g_c$. Die beiden Graphen schließen mit der y-Achse und der Gerade mit der Gleichung $x = 1$ eine Fläche mit dem Inhalt $3$ ein.

Berechnen Sie $c$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^x + \frac{1}{2}x$.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$ und $x \in \mathbb{R}$. Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$, der bei $x = 1$ den Wendepunkt $W$ hat.

a

Zeigen Sie, dass die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ die Steigung 1 hat.

[2 BE]

b

Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung $m$, die durch $W$ verlaufen. Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit $G_f$ in Abhängigkeit von $m$ an.

[3 BE]

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \frac{4}{x^2}$.

$G_f$ ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.

a

Die Gerade, die parallel zur x-Achse durch den Punkt $P(0 \mid p)$ verläuft, schneidet $G_f$ in zwei Punkten. Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte ist 1. Berechnen Sie den Wert von $p$.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \frac{4}{x^2}$.

$G_f$ ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.

b

Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an $G_f$ in einem Punkt $Q(u \mid f(u))$ mit $u > 0$ ein gleichschenkliges Dreieck ein. Berechnen Sie die Koordinaten von $Q$.