Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch $f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x^2}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $a > 0$. Jeder Graph der Schar verläuft durch den Koordinatenursprung.

a

Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben.

[3 BE]

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ durch $f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x^2}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $a > 0$. Jeder Graph der Schar verläuft durch den Koordinatenursprung.

b

Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind.

[2 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x$.

a

Es gilt $f''(2) \neq 0$. Zeigen Sie, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x$.

b

Einer der abgebildeten Graphen I und II ist der Graph einer Stammfunktion von $f$. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot \cos(x)$.

a

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_0^\pi f(x)\,\mathrm{d}x$ an.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 3 \cdot \cos(x)$.

b

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x) = a \cdot f(x) + b \cdot x$ mit reellen Zahlen $a$ und $b$.

Die Punkte $(0|-3)$ und $(\frac{\pi}{2}|\frac{3}{4}\pi)$ liegen auf dem Graphen von $g$. Ermitteln Sie $a$ und $b$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$. Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = f(x) \cdot \mathrm{e}^x$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$. Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = f(x) \cdot e^x$.

a

Weisen Sie nach, dass die folgende Aussage wahr ist:

Wenn der Graph von $g$ im Punkt $(a \mid g(a))$ mit $a \in \mathbb{R}$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $f'(a) = -f(a)$.

b

Die Abbildung stellt den Graphen von $f$ dar. Zeigen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $g$ im Punkt $(1 \mid g(1))$ keine waagerechte Tangente besitzt.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$. Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = f(x) \cdot \mathrm{e}^x$.

1 Aufgabe

[5 BE]

Gegeben sind die in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktionen $f$ und $g$, wobei $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt die Graphen $G_f$ von $f$ und $G_g$ von $g$.

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und im Punkt $(x_S \mid f(x_S))$.

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

$$\int_0^{x_S} (g(x) - f(x))\,\mathrm{d}x = 2 \cdot \int_0^{x_S} (x - f(x))\,\mathrm{d}x$$

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$. Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x) = f(x) \cdot \mathrm{e}^x$.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sqrt{x-2}$ mit $x \in [2;+\infty[$.

Die Abbildung zeigt den Graphen $G$ von $f$ sowie den Punkt $P(3|1)$.

Die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ ist die Tangente an $G$ im Punkt $P$ und hat mit $G$ nur den Punkt $P$ gemeinsam.

a)

Zeichnen Sie die Tangente in die Abbildung ein. [1 BE]

b)

Betrachtet werden alle Geraden, die mit $G$ sowohl den Punkt $P$ als auch einen weiteren Punkt gemeinsam haben. Geben Sie die Steigungen dieser Geraden an. [4 BE]