Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 a, b - Differentialr… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2021

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil A · Analysis (2021)

Aufgabenstellung

Die Verbreitung eines Computervirus lässt sich modellhaft mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(t)=2⋅t⋅e−1100tf(t) = 2 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t} beschreiben. Dabei ist tt die Zeit in Tagen, die seit der ersten Infizierung eines Computers mit dem Virus vergangen ist, und f(t)f(t) die Rate der Infizierungen zum Zeitpunkt tt in der Einheit „Eintausend Computer pro Tag“.

a

Zeigen Sie, dass 2⋅(1−1100t)⋅e−1100t2\cdot\left(1-\frac{1}{100}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t} ein Term der ersten Ableitungsfunktion von ff ist. [2 BE]

b

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Rate der Infizierungen am größten ist. [1 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 a, b - Differentialr… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Zeigen Sie, dass 2⋅(1−1100t)⋅e−1100t2\cdot\left(1-\frac{1}{100}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t} ein Term der ersten Ableitungsfunktion von ff ist.

Lösung: f′(t)=2⋅e−1100t+2⋅t⋅e−1100t⋅(−1100)=2⋅(1−1100t)⋅e−1100tf'(t) = 2\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t} + 2\cdot t\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t}\cdot\left(-\frac{1}{100}\right) = 2\cdot\left(1-\frac{1}{100}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{100}t}

b Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Rate der Infizierungen am größten ist.

Lösung: 100 Tage / 100 Tage nach der ersten Infizierung eines Computers

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